Mathematics. — '' üfber topologische Involntioncn.'' By Prof. 

 L. E. J. Bhouwek. 



(Communicated in the meeting of March 29, 1919i. 



Unter eiiier topohylxchen InDolution n-ter Ordnuwj einer A-dinieii- 

 sionalen Mannigfaltigkeit F verstellen wir eine solche Zerlegung voii 

 F in Sjsteme von köchstens n Piiiikten, dass die Menge diesei- 

 Sjsteme sicli eineindeiitig iind stetig anf eine als Mocbdinannig- 

 faltiqkeit der Inroluüon zn bezeiohuende A-<iiinensionaIe Mannig- 

 faltigkeit M abbilden léisst. 



\ 1. Involiitioiien von Liuien. 



Sei P ein Pnnkt der Modul linie j\f, dev ein solches Segment .v 

 von .1/ begrenzt, von dem jeder Pnidvt ii vei'scljiedene Rildpunkte 

 anf der Linie F besitzt, walirend fnr P selhst ?/? ^ 1 diesei- Bild- 

 pnnkte in einem Punkte Q von i'' znsamnienfallen. Wenn wir einen 

 Pnnkt 6' von .v in hinreichender Nalie \0]i P walden, so zerfallen 

 die weder P noch C' entspreelienden, in der Nalie von Q gelegenen 

 Pnnkte von F in drei und nur drei Kategorien : eiji solcher Pnnkt 

 ist namlicli entweder Bildpunkt eines zvvischen C und P liegenden 

 Punktes von M und lasst sich alsdann oline Berührung der in der 

 Nahe von Q liegenden Bildpunkte D^,D^, .... A/. von C mit Q 

 verbinden, oder Bildpunkt eines dureli 6^ von /-* getrennten Punktes 

 von M, in welclieni Falie er sieli olme Berührung von Q,D^,D^, .... D,n 

 aus der Nahe von Q entfernen lasst, oder schliesslicli Bildpunkt 

 eines durch P von C getrennten Punktes von 3/, in welchem Falie 

 er sich sowohl ohne Berührung von D^,D,, .... /),„ mit Q verbinden, 

 wie ohne Berührung von Q, D^, D,, . . . JJ„i aus dei- Nahe von Q 

 entfernen lasst. Hiermit sind wir aber für m ^ 1 zii einem Wider- 

 spruch gelangt, so dass Jeder Pu.iikt von M notwendig n ver.schiedene 

 Bildpunkte auf F besitzt. Hieraus folgt unmittelbar, erstens, dass F' 

 eine geschlossene Linie ist, zweitens, dass die Involution n-ter Ordnung 

 von F einer n-periodischen Rotationsgriippe topologisch aquivalentist. 



§ 2. Involutionen von Flachen. 



Sei ,i ein Gebiet der Modidtlache M, nou dem jeder Pnnkt n 



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