Mathematics. — "Au/zü/t/any der [jeviodlsclien Tirnis/onnationen 

 (les Torus". By Prof. L. E. J. Brouwer. 



(Communicated in tlie meeting of May 3, l'.H9). 



§ 1. Traiisformationeii nut Invarianter Indikatriv und inrari<mter 



Zyklosis. 



Wir wei-deii sagen, dass eine Traustbrinalioii r//^ /^V^'^"-''"^-''" ''^^'f^''^'^'^^ 

 liisst, weiin sie jeden Zykel (d. Ii. jede nicht zusamrnenziehbare ein- 

 faelie gesclilossene Kurve) inklusive des l'inlaufssiimes nquivalent 

 /nrnsfornnerf. Alsdann kann eine >i-periodisclie Ti-ansformatioii ^ mit 

 invarianter Indikatrix nnd invarianter Zvklosis des Torns R keinen 

 Piinkl invariant lassen^), so dass ilire Modulflache') nacli der Hurwitz- 

 schen Formel ") ein Torns 7' sein ranss. Die Flaclien H nnd 7' 

 hesilzen eine genieinsan)e einfach znsaminenliangende Ueberlagernngs- 

 flache .S', welclie sicli in soldier Weise topologisch (d. h. eineindenlig 

 \[nd stetig) anf eine Cartesische Ebene 6' abbilden lassl, dass die 

 Translation von (J 



\ X — X -f n ((f ganz) 



( .V = .'/ 

 der Transt'onnalion / nnd die von den Translationen 



l .r' = ./r -f 1 l x' — X 



f ""d , , 



f y = .V I .'/ = .'/ + 1 



erzengte Grnppe derjenigen Grnppe von .S', welche alle Pnnkle von 

 7' invariant lasst, entspiiclit. Zwei Fnnkte /-*, nnd /\ von C ent- 

 spreclien nnii dann und nnr dann demselben Pnnkte von 7', wejin 

 sie enliot'der deniseU)en Pnnkle von R entsprechen. oder /-*, dureh 

 eine Potenz von r in einen Pnnkt /^,, der demselben Piinkte von 

 R entspriohl wie f*,, ül)ergeführt wird. Hiei-ans t'olgt ersfens, dass 

 eine Translation von C der Form 



l iv' = a^ -\' b {b ganz) 



l y' ^ y A- 1 

 angegeben werden kann, welche alle Pnnkte von R invariant lasst, 



') Diese Proceedings XXI, S. 707-710. 



2) Ibid., S. 1143. 



") Matli. Annalen -41, S. 404. 



