1354 



In jedein dieser viei' Falle ist die Transformation t dnrch die 

 angegebene Struktiir der entsprechenden Rieinannsohen Plache voll- 

 standig cliarakterisiert . 



^ H. Iiivoluiorisrlie' Trans forma tionpn mit umkelirender fndikatri.r. 



Wir bezeichnen die Menge der tur die betrachtete Transformation 

 t des Torus R iiivarianleii Pnnkte iiiit /. Alsdann sind drei Fiille 

 zu untersciieiden : 



u. Dit' Koinplfiiientüniienge iioii 1 in H besteht ans nielir als einein 

 (reh'uti'. Weil keines dieser Gebiete \oii t in sioli mil invarianlen 

 Kandpunklen liansformiert werden kann, so weiden dieselben von 

 / paarweise \ erwecliseb. Zwei derartige \ on t verwechselle Gebiete 

 (/, iiiid (/, niiissen al)er eine genieinsanie Gren/e besilzen, welche 

 sowold füi' //, wie für ƒ/, unbewalit ') ist, was nur inc'tglicli ist, wenn 

 sie aus zwei aqnivalenten Zykeln bestelit. Dann aber wird / fiir ein 

 geeignetes torisclies Koordinaiens} stem wie folgt dargestellt: 



I V' = M'. 

 ^•?. Die Koinplenieiitt'irnienye von I in /ï* bestelit aas cineni eiiizigen, 

 nicht mit R identiscken (/ehiete g. Wenn y niclit scliliclitartig ware, 

 so wiirde mil / eine invohitoi'ische Transformation nut nmkelirender 

 Indikalrix der einfacli ziisammenliangenden Ueberlageiiingsnafhe N 

 von R, deren invariante Pnnkte nni- ein einziges Gebiet begienzten, 

 korresponcHeien, was nnniöglicli ist. Weil mitliin g schlichtartig ist, 

 so werden seine Randei- von / paarweise verwecliselt"). Zwei derartige 

 von / verwec'liselte Rander /■, nnd r, sind aber beide fury nnbewallt, 

 so dass sie in einein Zykel /; von R znsatnmenfallen nnd das Gebiet 

 (/ -j- / niclit melir scliliclitartig ist. Eventuelle Rander des Gebietes 

 (/ -f- k miissten einerseits fur t invariant sein, andererseits von t 

 paarweise verwechselt werden, können inithin nicht existieren, so 

 dass g -\- k mit R identiseli ist nnd t fur ein geeignetes torisclies 

 Koordinatensystem wie folgt dargestellt wird : 



j '/■' = — <l 



i «K = tf' + (f. 

 y. Die Menge //'///// /or/. In diesein Falle besitzt ^ eine gesclilossene, 

 einseitige Modnltlaclie M, welche /? als ilire zweiseitige Verdoppelung 

 besitzt, mithin notwendig eine einseitige Ringflaclie sein ninss. Wir 

 können also auf M zwei einander nicht treffende einseitige Zykeln 

 i\ nnd r wahlen. Weil i\ nnd r, die nicht zn ilmen gehörenden 



1) Math. Annalen 71, S. 321, 



2) Ibid. 80, S. 36-41. 



