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Puiikte von Af iiicljl in getrennte Gelviele zerlegen, so können audi 

 dip Bilrler s, nnd .v, auC /.' von i\ nnd r, die niclil zn ilmeJi ge- 

 hörenden Paare von fnr t acjuivalenten Puiiklen von /? nielil in 

 getrennte Gebiele zerlegen, d. li. s, nnd s, zerlegen R in zwei tur 

 / aqnivalente Geblete nnd / wird für ein geeignetes torisclies Koor- 

 dinatensystem wie folgt dargestellt: 



\ lp' = ifj -j- n. 



^ 4. NiclU-involutiwische Tyansfonnationen init umh'hrt^u(/er 



Indikatrix. 



Sei / die betraclitete 27i.-|)eriodische Transformation des Torus li. 

 Wei! far /^ > 1 keine 2»,-|)eriodische, ganzzahlige, honiogen-lineare 

 Transformation der Delerniiuante — 1 in zwei Variabeln existiert, 

 so lasst /' die Zjkiosis von H invariant, besitzl mithin als Modul- 

 Haehe einen Torus T, aiif weichem das Bild von / eine involnto- 

 risohe Transformation t^ mit nmkehrender indikatrix darstellt. Wir 

 führen auf 7' die nach ^ 3 zu /, geliörigen toriselieu Koordinaten 

 7 und lp ein, betrachten zwei durcli die Gleiclinngen 7 = a nnd 

 (f — — r/ bestimmte Zykeln i\ und r, von 7' und bezeichnen die 



Hildzykeln von r, auf R mit ,s„ ,Sr, „A- Weil alle Zykeln 



„.s-, für t aquivalent sind und ilire zyklische Reihenfolge von / uni- 

 gekelirt wird, so kann ilire Anzahl nnr ziöei betragen und niuss 

 /u = 1 sein. Mithin wird die alle Punkte von R invariant lassende 

 Transformationsgrnppe der einfaoh zusammenhangenden Ueberlage- 

 rungstlache .S von R und T durch die Translationen 

 i 7)' =: (f i ^Z'' = '/' + 2:rr 



j ifi' z= if> f 2n rr I ^ = ^f' "l" 2 /' ^ 



erzeugt. Wenn wir nunmehr 7 und tj?— Ar/ auf T als neue torische 

 Koordinaten (f/.ip) einführen, so werden diese Translationen duirh 



i </ ' — tf . l 7 ' = ^/ + 2 .T 



und , 



i|)' = tp -f 2 « jr I If) = i|> 



und /, durch 



(;' = — (f , \(f — - (f 



bzw. , , / , 



tp' =: tf) + ^7' H' = '}' + ''■'/' ^^ ^' 



mithin t in denselben Koordinaten durch 



'f' — ~'f bzw j'^' — ~'^ 



t|/ -T tj» -h % 4- 2y;7 ^^' I V' = M' + ^7 4 (2<7 ^ 1) 



also auf jeden Fall durch 



