BOARD 
verteilung innerhalb der genannten 4 Planeten ziehen: „Bei der Erde und beim Mars ist die 
Zunahme der Dichte von der Oberfläche zum Mittelpunkte nur eine geringe, die Massenverteilung 
in ihrem Inneren kann halbwegs noch als eine homogene angesehen werden, weshalb die bei 
ihnen beobachteten Abplattungen sich mehr dem Newtonschen Werte anschließen. Wesentlich 
anders verhält es sich beim Saturn. Bei diesem dürfte die Dichte von der Oberfläche an gegen 
das Innere rasch zunehmen und im Mittelpunkte einen sehr großen Wert haben. Daher liegt 
seine Abplattung näher dem Huyghensschen Werte. Der Planet Jupiter hält zwischen diesen 
beiden Fällen die Mitte. 
$. 4. Der Erste, dem die Aufgabe glückte, die Anziehungskräfte eines Rotationsellipsoids 
von homogener Masse auf einen Punkt seiner Oberfläche allgemein zu berechnen, war Mac-Laurin!). 
Auf dieser Grundlage konnte er nunmehr den strengen Beweis dafür erbringen, daß das 
abgeplattete Rotationsellipsoid eine Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüssigkeitsmasse ist. 
Als gesuchte Beziehung zwischen der Größe p und der Abplattung des Ellipsoides oder dessen 
Exzentrizität - 
= Et Ne 
Zu, woraus & = 7 
ergab sich ihm die Gleichung 
o= m. [(3-+ 82) aretge — 38] 
Mac-Laurin verwendet sie nur für den Fall, daß e sehr klein ist, und findet durch einfache 
Reihenentwicklung in Übereinstimmung mit dem Newtonschen Resultat « = ®/, 9. Eine strenge 
Diskussion bezüglich ihrer reellen Wurzeln lieferte erst Laplace). Sie lautet: 
1. Für kleine Werte von p hat die Gleichung stets zwei reelle Wurzeln, die eine kleiner 
als 1, die andere größer als 1. Für die kleinere gilt der Newtonsche Näherungswert « = 5); 9, 
die größere dagegen ist aus & = 2r/4p zu berechnen. Es entsprechen daher einem kleinen Wert 
von g, d. h. einer kleinen Rotationsgeschwindigkeit der gegebenen Flüssigkeitsmasse zwei mögliche 
Gleichgewichtsfiguren, die eine mit sehr kleiner, die andere mit sehr großer Abplattung. Was 
die Erde anlangt, für welche 9 = 1/288 ist, so wäre die eine Gleichgewichtsform ein Ellipsoid mit 
der Abplattung 1/230, die andere würde mehr schon einer elliptischen Scheibe mit sehr großem 
Äquatorradius und sehr kleinem Polarradius gleichen ; denn ihre Abplattung wäre 679/680, d. h. 
der Radius der Scheibe wäre 680mal größer als ihre Dicke. 
2. Ist die Rotationsgeschwindigkeit und damit auch = 0, so wird die kleinere Wurzel 
ebenfalls Null, die größere dagegen unendlich. Die eine Gleichgewichtsfigur geht in eine Kugel 
über, die andere wird eine kreisförmige, unendlich dünne Scheibe mit unendlich großem 
Radius. 
3. Läßt man dagegen die Rotationsgeschwindigkeit und damit auch die Größe p anwachsen, 
so kommt man endlich auf einen Wert 9 = 0'33700, für welchen beide Wurzeln zusammenfallen, 
u. z. wird 
= 25292 « = 0:6323 
und über welchen hinaus keine reellen Wurzeln mehr vorhanden sind. Eine ellipsoidische 
Gleichgewichtsfigur ist dann nicht mehr möglich. ‘Für die Erde beträgt diese größte Rotations- 
geschwindigkeit oder die kleinste Rotationsdauer, bei welcher eine ellipsoidische Gleichgewichts- 
figur noch möglich ist 
— h m 1 1 — h 
ES Zu 70 VE BEEBE ER he Alar 
für jeden anderen Planeten, dessen Dichte o! ist gegenüber der der Erde oe, berechnet sich diese 
aus T= 2 92 Veo/a 
') Mac-Laurin: Treatise of Fluxions. Edinburgh 1742. 
2) Laplace: Mö&canique celeste. Livre III. Paris 1799. 
— 162 — 
