S. OPPENHEIM 
1. Die Erde oder die Flüssigkeilsmasse, deren Gleichgewichtsfigur bestimmt werden 
soll, besteht aus unendlich vielen, unendlich dünnen Schichten, die alle eine gemeinschaftliche 
Rotationsachse haben und deren Dichte von Schichte zu Schichte variiert u. z. zunehmend von der 
Oberfläche gegen die Mitte hin. Diese Zunahme braucht aber nicht eine kontinuierliche, sondern 
kann auch eine sprunghafte sein. 
2. Die Annahme, daß alle einzelnen Schichten ursprünglich flüssig waren, ist nicht 
notwendig. Nur die Oberflächenschichte muß als eine flüssige angesehen werden, die durch die 
gleichmäßige Rotation eine bestimmte Form erlangte und sie auch beibehielt. Die inneren Schichten 
können auch als von Anfang an fest angenommen werden. Die Lösung des Problems umfaßt daher 
ebenfalls den allgemeinen Fall, daß man die Erde als einen festen Körper ansieht, der von einer 
Wassermasse bedeckt ist. 
3. Jede dieser einzelnen Schichten hat die Form eines Rotationsellipsoides von sehr 
kleiner Abplattung, so daß in der Rechnung bloß deren erste Potenz berücksichtigt, die zweite 
und noch mehr die höheren Potenzen derselben vernachlässigt werden können. Die Abplattungen 
der einzelnen Schichten sind verschieden, aber notwendigerweise von Schichte zu Schichte 
stetig veränderlich. 
Clairaut berechnet die Anziehungskräfte einer unendlich dünnen, von zwei Rotations- 
ellipsoiden begrenzten Schale und daraus durch Integration die Anziehung des ganzen Ellip- 
soides, das aus unendlich vielen solchen Schalen von variabler Dichte sich zusammensetzt. 
Durch Substitution der so gefundenen Werte in die Bedingungsgleichungen für das Gleichgewicht 
erhält er in erster Linie eine Differentialgleichung, welcher die Abplattungen der einzelnen 
Schichten von gleicher Dichte genügen müssen. In etwas anderer Form geht Laplace vor, gelangt 
aber zu derselben Differentialgleichung. 
In sie geht als Hauptgröße das Gesetz ein, nach welchem die Dichten der einzelnen 
Schiehten von der Oberfläche zum Mittelpunkte zu wachsen und, da dieses Gesetz nicht bekannt 
ist, läßt sich die Gleichung nicht integrieren. Trotzdem haben sich mit dieser Integration unter 
verschiedenen Hypothesen für die Variation der Dichte sehr viele hervorragende Mathematiker 
beschäftigt. Es handelte sich vornehmlich bei diesen hypothetischen Versuchen darum, solche 
Funktionswerte für die Dichte der Erde in ihrer Abhängigkeit von Radiusvektor aufzufinden, die 
gewissen durch Beobachtungen mit einiger Genauigkeit festgelegten Größen genügen. Diese sind: 
1. die mittlere Dichte der Erde, die aus nach verschiedenen Methoden durchgeführten 
Versuchen zu 0, —=5'513 mit einem geringen mittleren Fehler anzunehmen ist; 
2. der aus geologischen Beobachtungen gefolgerte Mittelwert der Dichte auf der Ober- 
fläche der Erde, =26 — 28; 
3. der aus geodätischen Messungen wie aus Pendelbeobachtungen sich ergebende Wert 
\ 1 1 
der Abplattung der Erde zu e=597 59; 
4. endlich die aus der Theorie der Präzession folgende Differenz der beiden Haupt- 
trägheitsmomente der Erde um eine beliebige Äquatorachse, A, und die Rotationsachse, (©, für 
1 
welche der Wert (C— A)/C = 3057 ebenfalls mit einem sehr geringen mittleren Fehler anzusetzen ist. 
Merkwürdigerweise ist es bisher noch nicht gelungen, durch eine Annahme über das 
Gesetz der Variation der Dichte eine volle Übereinstimmung mit allen diesen Größen zu erzielen. 
Als die beste erwies sich noch die Annahme Legendre’s, wornach für die Zunahme der Dichte 
von der Oberfläche zum Mittelpunkte der Erde 
Gr: 
e=—sin ma 
a 
gesetzt wird, wenn o die variable Dichte der Erde von Schichte zu Schichte, « den Abstand 
einer Schichte vom Erdmittelpunkt, den Erdradius = 1 angenommen, und @ und m zwei Konstante 
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