— re Ss. OPPENHEIM .— 
Bewegungen einer flüssigen Masse aufzufinden unter den Annahmen, daß ihre Form die eines drei- 
achsigen Ellipsoides ist, daß auf ihrer Oberfläche ein konstanter Druck lastet, während ihre Teilchen 
sich mit das Newtonsche Gesetz befolgenden Kräften gegenseitig anziehen. Sie untersuchen speziell 
die Bedingungen, unter denen diese Bewegungen unendlich kleine Schwingungen der Teilchen sind, 
sodaß durch sie die ursprüngliche Gestalt nur unendlich wenig geändert wird. 
In neuester Zeit glückte Poincare in Paris!) eine endgiltige Lösung des Stabilitätsproblems. 
Sie stützt sich auf das bekannte Theorem von Dirichlet, nach welchem ein ruhendes mechanisches 
System dann im stabilen Gleichgewichte ist, wenn für die Ruhelage die potentielle Energie kleiner 
ist als für alle benachbarten Anordnungen, ein Theorem, das, wie man leicht einsieht, identisch ist 
mit dem aus der elementaren Mechanik bekannten Satze, daß ein schwerer Körper sich im stabilen 
Gleichgewichte befindet, wenn sein Schwerpunkt die möglichst tiefste Lage einnimmt, daher jede 
Störung des Gleichgewichtes ein Heben desselben und damit einen Arbeitsaufwand erfordert, der 
bewirkt, daß der Körper wieder in seine ursprüngliche Lage zurückkehrt. Gilt dieses Prinzip, in 
dieser Weise ausgesprochen, nur für den Fall des absoluten Gleichgewichtes eines ruhenden Köpers, 
so dehnt Poincar6 es auch auf den des relativen Gleichgewichtes einer rotierenden Flüssigkeitsmasse 
aus und formuliert es in folgender Weise: Eine Gleichgewichtsfigur ist dann und nur dann stabil, 
wenn ihre totale Energie, u. z. die potentielle Energie ihrer Anziehungskräfte und die kinetische 
ihrer Rotation im Verhältnisse zu allen möglichen unendlich benachbarten Massenanordnungen ein 
Minimum ist. 
Will man nach diesem Prinzipe die Stabilität einer Gleichgewichtsfigur untersuchen, so 
hat man die Aufgabe. ihre Energie zunächst für die gegebene und dann für eine durch irgend- 
welche Kräfte deformierte Form zu berechnen, den Unterschied der beiden festzustellen und 
dann zu entscheiden, wann dieser Unterschied, welches auch immer die deformierenden Kräfte 
sein mögen, positiv ist. Es zeigt sich, daß sich die Untersuchung auf die Betrachtung gewisser 
Größen reduzieren läßt, welche Poincar& die Stabilitätskoeffizienten einer Gleichgewichtsfigur 
nennt, und den Nachweis, ob und wann diese positiv sind. Im speziellen folgt, daß die Stabititäts- 
koeffizienten einer Kugel durchwegs positiv sind. Die Kugel ist daher eine absolut stabile Gleich- 
gewichtsfigur. Dagegen sind die Stabilitätskoeffizienten der unendlich großen kreisförmigen Scheibe, 
welche die Reihe der ellipsoidischen Gleichgewichtsformen abschließt, alle negativ. Diese ist daher 
eine labile Form. 
$ 11. Wie verhält es sich aber mit der Stabilität einer Gleichgewichtsfigur, wenn in 
einem bestimmten Fall einer oder mehrere ihrer Stabilitätskoeffizienten Null werden ? Die Antwort 
auf diese Frage bildet in ihren ganz neuen Ergebnissen den zweiten interessanten Teil? der 
Poincare’schen Untersuchungen, nämlich die Lehre von der reihenweisen Anordnung der Gleich- 
gewichtsfiguren und ihrer Verzweigung in jenen kritischen Punkten, in denen ein Stabilitäts- 
keeffizient den Wert Null hat. 
Gesetzt, man habe für eine bestimmte Anfangsbedingung mehrere Gleichgewichtsfiguren 
erhalten. Offenbar kann man durch eine unendlich kleine Veränderung der Anfangsbedingung 
jede einzelne der Figuren in eine neue überführen, die sich von der ursprünglichen nur unendlich 
wenig unterscheidet. Aus diesen neu abgeleiteten läßt sich eine dritte Gruppe bilden usw. Es 
entstehen auf diese Art durch aufeinanderfolgende Anderungen der Anfangsbedingungen ebenso- 
viele Reihen von Gleichgewichtsfiguren, als ursprünglich solche vorhanden waren, oder in geo- 
metrischer Auffassung, ebensoviele Kurvenzweige, von denen jeder eine Formenreihe repräsentiert, 
in welcher die einzelnen Formen kontinuierlich ineinander übergehen. Man kann aber zunächst 
nicht sagen, wo diese Reihen beginnen, wo sie enden und ob sie sich in irgendwelchen kritischen 
Punkten schneiden oder verzweigen, in welchem Falle zwei sonst zwei Reihen angehörige Figuren 
in eine einzige zusammenfallen. Figuren solcher Art sollen Verzweigungs- oder Kreuzungsfiguren 
genannt werden. 
ı) Poincar&: Sur I’ öquilibre d’une masse fluide animde d’un mouvement de rotation.”Acta mathe- 
matica 1885. 
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