- Die Gleiehgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeitsmassen und die Gestalt der Himmelskörper ———— 
Führt man diese Überlegung rein mathematisch durch, so läßt sich beweisen, daß ein 
solcher Kreuzungspunkt dann und immer nur dann auftreten kann, wenn einer der Stabilitäts- 
koeffizienten zu Null wird. Gleichzeitig ist aber damit, da an dieser Stelle der Stabilitäts- 
koeffizient sein Vorzeichen wechselt, d. h. aus dem positiven ins negative oder aus dem negativen 
ins positive Zahlengebiet übergeht, ein Wechsel der Stabilität verbunden. Der eine Kurvenzug, 
der vor der Verzweigung stabile Figuren gab, liefert nach derselben labile und umgekehrt die 
Reihe, in der vor der Kreuzung die instabilen Figuren lagen, wird nachher zu einer Serie 
von stabilen. 
Eine solche Reihe von Gleichgewichtsfiguren bilden die Rotationsellipsoide. Die Reihe 
beginnt mit der Kugel, deren Stabilitätskoeffizienten alle positiv sind und endet mit der unendlich 
großen kreisförmigen Scheibe, deren Stabilitätskoeffizienten wiederum durchwegs negativ sind 
Es müßten daher zwischen diesen beiden Grenzfiguren Stellen vorhanden sein, in denen die ein- 
zelnen Koeffizienten Null, dann negativ werden und bei einer weiteren Änderung der Anfangs- 
bedingung auch negativ bleiben. Die erste dieser Stellen ist bestimmt durch den Wert 9 = 0'28063. 
Tatsächlich beginnt hier eine neue Reihe von Gleichgewichtsfiguren, nämlich die der dreiachsigen 
Ellipsoide und das diesem Werte von p entsprechende Ellipsoid ist daher eine Verzweigungsfigur 
Die Reihe der Rotationsellipsoide verläuft stabil von der Kugel ab bis zu diesem Verzweigungs- 
ellipsoid, Von da ab beginnt als stabile Reihe die der dreiachsigen Ellipsoide. Sie endet, wie 
schon bekannt, mit der unendlich langen und unendlich dünnen nadelförmigen Figur. Da diese 
offenbar labil ist, so muß auch hier wieder eine Verzweigung eintreten 
Poincar& glückte es diese Stelle aufzufinden, (für sie ist = 0'2130) und auch die 
neue sich anschließende Reihe der Gleichgewichtsfiguren aufzustellen. Die Begrenzungsfläche der- 
selben ist nicht mehr eine ellipsoidische, sondern eine kompliziertere. Die Flüssigkeitsmasse 
scheint sich an einer bestimmten Stelle einzuschnüren, derart, daß der eine größere Teil sich 
wieder der Kugelform nähert, der zweite kleinere dagegen aus dem Ellipsoide heraustritt, als ob 
er sich von der Hauptmasse trennen wollte. Mann nennt diese neuen Figuren Poincarösche oder 
nach ihrer Ähnlichkeit mit einer Birne auch birnenförmige (pearshaped) Figuren. 
Wie diese neue Reihe von Gleichgewichtsformen sich fortsetzt, ob, was für eine mathe- 
metische Durcharbeitung der Kant-Laplaceschen kosmogonischen Hypothese von besonderem 
Interesse wäre die Einschnürung kontinuierlich fortschreitet, so daß endlich die Masse in zwei 
selbständige Teile zerfällt, die sich zueinander wie Sonne und ein Planet, oder ein Planetund sein 
Mond verhalten, ist bisher noch nicht durchzuführen gelungen. Es suchte daher G. H. Darwin!) 
der berühmte Sohn des Naturforschers Ch. Darwin, dem Problem von der entgegengesetzten Seite 
beizukommen. Er geht von der Annahme aus, daß ein System von zwei flüssigen Körpern, die 
nahezu eine kugelförmige Gestalt haben und sich in einem Kreise umeinander bewegen, so daß sie 
sich stets dieselbe Seite zukehren, als eine stabile Gleichgewichtsfigur angesehen werden kann, 
wenn die beiden Teile nur hinlänglich weit voneinander entfernt stehen. Er sucht weiter die 
Bedingungen auf, unter welchen das Gleichgewicht fortbesteht, wenn die beiden Massen sich 
immer mehr nähern, sich endlich berühren und in einzige Figur zusammenfließen. Für größere 
Werte der Rotationsgeschwindigkeit, ferner für verschiedene Werte des Verhältnisses zwischen 
den Größen der beiden ursprüngliehen Körper entwirft Darwin einige Zeichnungen der da auf- 
tretenden Figuren, die er ihrer Form nach als hantelförmige bezeichnet. Doch ob diese mit den 
Poincareschen birnenartigen identisch sind, oder ob sie als deren Weiterentwicklung angesehen 
werden können, darüber ist noch nichts bekannt. l 
$ 12. Die Anwendung dieser Ergebnisse, besonders die der reihenweisen Anordnung 
der stabilen Gleichgewichtsfiguren auf das Laplacesche Problem der Kosmogonie ist die folgende: 
Es sei eine homogene oder mindestens nahezu homogene Flüssigkeitsmasse gegeben. Ihre Gleich- 
gewichtsfigur wird offenbar eine Kugel sein. Wenn ihre Rotationsgeschwindigkeit mit zuneh- 
mender Kontraktion langsam wächst, wird sie sich immer mehr zu einem Rotationsellipsoid 
1) G. H, Darwin: On firures of Equilibrium of rotating masses of fluid. London 1888 und On the 
pearshaped form of Equilibrium. London 1902. 
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