- p 



64 G. Mittag-Leffler. 



"p (^ t) ^^ T (^ îr) - »P (* ^) ^u: SP (* ir) 



— ü" i . 



SP (^ ^) IT ^î/ "^ (^ir)-sp(«^)!r^,r9'(«ir) 



«JP (^ ^) - SP (^ ^) 



v u 



SP (^ ^) - 9 (^ ^) 



De på detta sätt erliållna uttrycken för F och Q äro symmetriska funk- 

 tioner af — och — . Om derföre rp {x ë) äro en rationel algebraisk funktion af 



I, hvars koefficienter äro entydiga funktioner af x, så blifva, på grund af ett 

 bekant algebraiskt teorem, uttrycken för P och Q rationella funktioner af 



v u , v u 



— + — samt — — , 

 i> M vu 



hvilkas koefficienter äro entydiga funktioner af x. 

 Om man nu sätter 



il ^J = F{x) , 



så blir 



v u _ F' {x) 



v ^ Ü ' Y(x) 



ÎL !L - i- Z^' M ± ^' (^) 



v u ' 2 Fix) '^ 2^ F (x) '^ ^ 



Qvantiteterna F och Q kunna således uttryckas som rationella algebraiska 

 funktioner af ^~- och ^^tt^* , hvilkas koefficienter äro entydiga funktioner af a; 



Om således uti ç {x |) koefficienterna för de olika potenserna af | äro 

 dubbelperiodiska funktioner, och om uti differentialeqvationen 



koefficienterna p och q äro sådana dubbelperiodiska funktioner utaf x, att äfven 

 qvoten Ç^ är en dubbelperiodisk funktion, så bli också uti differentialeqvationen 



