Sur quelques points de la théorie des fonctions. 



(Extrait d'une lettre de M. Ch. Hermite à M. Mittag-Leffler.) 



L'imiJortantc proposition à la quelle est attaché désormais Votre nom dans 

 la théorie générale des fonctions, a fait le sujet d'un travail de Mr. Weikk- 

 STKAss, publié dans le N» d'Août 1880 des Monatshericht, et dont j'ai fait 

 l'étude avec le ])lus vif intérêt. L'illustre géomètre qui est parvenu par une 

 voie simple et rapide à démontrer votre théorème, l'énonce comme il suit: 



Soit fi (x), Uipc), .... une suite indéfinie de fonctions rationnelles, telles 

 que fv (a;) ne devienne infinie que pour x — ih) et supposons que les modules 

 des termes de la suite indéfinie, «i , a^, ... allant en croissant, on ait la con- 

 dition: limite rt„ = oo , pour v infini. On peut alors toujours former une 

 fonction analytique uniforme £ {x), avec le seul point singulier co , n'ayant 

 d'autres pôles que «i , a. etc. et telle que la différence £ {x) - fv («), soit finie 

 pour x = civ. 



En réfléchissant à la méthode donnée par M. Weierstrass, j'ai été con- 

 duit à suivre un marche un peu différente, et à quelques remarques que je 

 vais vous communiquer succintement. J'ai considéré d'abord, la dérivée loga- 

 rithmique d'une fonction <f> {x), holomorphe dans tout le plan, de sorte que les 



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fonctions rationnelles t\ (x), f^ {x), soient simplement: - — — , , etc. 



Deux hypothèses m'ont paru devoir être faites. Je supposerai dans la 



première qu'en retranchant de ^— ; un polynôme Pv (x), dont le degré 



a une limite supérieure finie et indépendante de r, que je représenterai par 

 11 — 1 et posant: 



la somme: 



£{x) = F,{x) + F,{x) + .... 



