Sur qiidqtœs points de la théorie des fouetions. 71 



série cunvergcntf 2, m i "" + i ' "iw'tipliés par des facteurs dont le maxi- 



niuin peut être rendu aussi vosin q'on le voudra de l'unité, à partir d'une 

 certaine valeur de v. Ayant ainsi démontré que £ {x) est une fonction ana- 

 lytique avec l'infini pour seul [joint singulier, je m'arrête un moment afin d'en 



donner un exemple, aux séries divergentes à termes positifs y, % ' <iw'<^»'i ti'ans- 



forme en séries convergentes en élevant ces termes à une même puissance. 

 Supposant comme le demande la règle de Gauss, l'expression rationnelle: 



**^4.i !■" + a V + . . . 



V ■{- a V + 



admettons que a — a soit positif et non supérieur à l'unité. La série sera di- 

 vergente, mais ayant: 



n nX nl—\ 



u V +na r + 



V+l 



ni , nX—l 



r + n a v + . 



ou voit qu'il suffit de détcrmiiu'r n par la condition: »(«'— rt)^l, pour que 

 la transformée N «<" , soit certainement convergente. 11 est cependant des cas 



ou si grand que soit n, 2,'" '^ toujours une somme infinie. 



1 



Soit en eftet, a = 71 v,, , et prenons la somme a partir de i' = 2. La 



' V (log v) ' ^ '■ 



fonction -,] — T^. î étant continuellement décroissante avec la variable, nous 



employerons la règle de Cauchy, qui consiste à reconnaître si l'intégrale 



r^ dx C^ e lit 



-— est finie ou non. Or elle devient: , si l'on fait: log x — t\ 



J .) (log ;r)" t' t" 



SOUS cette nouvelle forme on reconnaît immédiatement qu'elle est infinie, et 

 nous en concluons que quelque soit n, la série 



1^ 1 1 



(ïi^r + (log 3)" + • • • + (log r)" + ■ • 



est divergente. Nous justifions ainsi Tliypothèse admise et (jui est mainte- 

 nant à considérer, où le degré du jiolynome P^ (x), doit croître indéfiniment 

 avec le nombre v. 



