Sur quelques points .de la théorie des fonctions. 73 



J'aborde maintenant les fonctions uniformes holomorplies dont les résidus 

 sont des constantes quelconques; et je supposerai d'abord que les infinis soient 

 tous simples de sorte que les fractions rationnelles, /i (*•) , f^ {x) , etc seront : 



, , etc. Comme précédemment je pose une première hypo- 



X — ÖSj oc — CI2 



thèse en admettant que pour une certaine valeur du nombre entier «, la série 



Mod „^, - + Mod „:, 4 . . . + Mod -:,-" + • 



a 

 1 



soit convergente Faisant alors: 



puis: 



ou encore : 



r {x) 



£{^)= y R \ y - F (x) 



^ ^ z-i V a — X V ^ 



if(^)- S »; 



R X ^ R 



— X 



n+l 



a [a —x) «Il 



il suffit de comparer les deux séries: 



y Mod 



R 



V 



n+l 



a 



B 1 



X 



Mod — f,- . Mod 



n + l 



a 



V 



1-«^ 



pour reconnaitre comme précédemment que la convergence de la première en- 

 treine celle de la seconde. Nous établissons ainsi l'existence de la fonction 

 analytique £ (x), et j'ajoute qu'on doit aussi regarder comme entièrement démon- 

 trée, l'existence de ses dérivées des divers ordres, attendu qu'elles sont données par 

 des séries convergentes pour toute valeur de la variable. Désignant donc par 



iF. (a;), ce que devient I (x), si l'on remplace les constantes B. par B , et 

 admettant la convergence des suites: 



> Mod 



n+l 



a 



V 



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