Sur quelques points de la théorie des fonctions. 75 



la question est de déterminer les nombres entiers r.j ])ar la condition 

 que la série : 



I^-Hr-^'«] = 1 



a -X 



v 



m 



v a ^ \ a -X 



V \ V 



soit convergente dans tout le plan. 

 Soit à cet effet: 



Mod R -= \ Mod a f\ 



r V 



nous ferons deux parts de cette série, en réunissant dans la première, les 

 termes où o est négatif ou nul, la seconde comprenant les termes où o est 



positif. Considérons les modules des termes et pour ne pas multiplier les no- 

 tations, représentons les ainsi: 



^ (Mod a:)"'" V (Mod a;)"" 



V- 



et: 2 



Moda r''^^''Modfa-a-) ' "^ (Moda)"" ^" Mod (« -a; 



en admettant ce qui est le seul cas à envisager qu'elles aient une infinité de 

 termes. 



Cela posé, on voit immédiatement à l'égard de la première qu'on la rend 

 convergente, si l'on prend pour oj un entier positif, tel que m + 9 ne soit pas 



moindre que r, et j'observe à cette occasion, que la propriété de la série 



V 



y -—^ ~> V- - dont je fais usage, a été déjà signalée par M. Weierstrass 



V \ V j 



au commencement de son mémoire, sur les fonctions analytiques uniformes 

 d'une variable. 



Passant à la seconde, je pose: 



Mod a-{ Mod a 



de sorte que l'exposant a soit supérieur à l'unité. Le module du terme gé- 

 néral devenant ainsi: 



(Mod .r)"" 



Mod a Y^"'^-^^ Mod ia-x) 



faisons : 



« (m — o ) = rj + i 



