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fy étant une quantité positive telle que ro^ soit un nombi'e entier, et que cet 

 entier ne soit ])as inférieur à v. La quantité précédente, i)eut alors s'écrire: 



(Mod — — ' 



V, 



(Mod a^_j) "Mod fa -x 



et l'on voit que sa racine de degré v a zéro pour limite pour v infini, de sorte 

 que nous obtenons encore une série convergente qui définit une fonction ana- 

 lytique. La valeur de w^ donnée par l'expression: 



«o e 



V V 



K- 1 



) 



peut encore se mettre sous cette autre forme: 



log Mod R 



" log Mod a — log Mod a 



V 



en prenant rf^ de manière à obtenir un entier non inférieur à r; et quand au 

 premier de ces nombres correspondant à v — 1, et que ne détermine pas cette 

 formule il est clair qu'on peut le prendre arbitrairement, et le supposer par 

 exemple égal à zéro. Enfin je remarque que la convergence de la série par 

 la quelle nous définissons la fonction JF («), subsiste dans ses dérivées, de sorte 

 que nous démontrons à la fois l'existence comme fonctions analytiques de £ {x), 

 £' {x), £' [x) etc. Nous pouvons donc comme plus haut, construire une fonc- 

 tion telle qu'en en retranchant la fraction rationnelle unipolaire la plus générale : 



V V V 



+ 2 + ^ + . . . 



a — X [a —x) (a —x) 



le reste soit fini pour x = a . 



V 



Cest une seconde démonstration de votre théorème que je vous offre mon 

 cher ami, après votre illustre maitre, en témoignage de mes sentiments de sym- 

 pathie et d'estime pour votre talent. De ce théorème dont M. Weierstrass 

 a fait si justement ressortir l'importance, je vous indiquerai une conséquence 

 pour la démonstration d'un des plus beaux résultats donnés par le grand ana- 

 lyste dans son mémoire sur les fonctions analytiques uniformes d'une variable. 

 C'est un de mes élèves M. Bourguet qui a exposé dans son examen de docto- 

 rat la méthode suivante pour arriver à l'expression découverte par M. Weiek- 



