78 Oh. h ermite. 



Faisant donc: 



G{x) = J-,x + Jr,ar + ... + J„ a;" + 

 on pourra ainsi écrire: 



(?) 



z — x \x — c, 



où il est visible que G ( ) étant fini, pour toute valeur de x sauf x — c^ 



\x — c, 



G ix) est une fonction holomorphe ayant l'infini pour seul point singulier es- 

 sentiel. Notre relation nous donne en conséquence: 



n{x)~EG (--) = ^\ r -^^^-^ dz- 



^ ' \x — cj 2?.:r J s — x ' 



' (R) 



où l'intégrale du second membre se rapportant à une circonférence do rayon 

 aussi grand qu'on veut, la série: 



J. 1^ x^ x" 



V^^ ~ T ^ ^ ^ • • + ^'•+> + • • 



sera convergente pour une valeur arbitraire de x. Elle donne donc nais- 

 sance à une fonction holomorphe, et nous parvenons bien à la formule de M. 

 Weierstrass 



n{x) = i:G (--^ 



en faisant entrer sous le signe JJ cette dernière fonction qui a pour point es- 

 sentiel, l'infini. De la même manière sans doute s'établirait la proposition plus 

 générale que vous avez donnée en 1877 dans les mémoires de l'Académie des 

 Sciences de Stockholm. Mais j'aborde une autre question en vous développant 

 davantage ce que je n'ai fait qu'indiquer dans ma dernière lettre. 



La notion analytique de coupure que Eiemamn a le premier introduite dans 

 la théorie générale des fonctions, me semble avoir une origine entièrement 

 élémentaire et s'offrir comme d'elle-même dans l'étude de l'intégrale 



/^ 



^-L^^' ^) dt 



G It, z) • 



sous le point de vue que je vais exposer. 



Je suppose en premier lieu, que dans l'intégration la variable t soit ré- 

 elle et aille en croissant de t„ à t, et j'admettrai aussi que les fonctions, 

 F{t^z) et G{t,z) pouvant êtres réelles ou imaginaires soient holomorphes en 



t et z. 



