Sur quelques points de la théorie des fonctions. 79 



Cela étaut, la fonction : 



'. F (i, 0) 



^iz) = J 



G {t,z) 



dt 



aura une valeur unique et finie pour tous les points du plan, à l'exception du 

 lieu qu'on détermine par la condition G (^, s) = 0. Cette équation fait corre- 

 spondre à la série des valeurs réelles de t, croissant de 4 '<■ k , un nombre tantôt 

 fini tantôt infini de portions de courbes ou de courbes entières suivant les cas, indi- 

 quant ainsi les jjoints du i)lan on l'intégrale ne donne 

 plus la valeur de la fonction. Mais ces courbes ont 

 une signification plus importante; elles conduisent à 

 la notion de coupure d'une manière facile comme vous 

 allez voir. Soit ÄMB l'une d'elles rapportée aux 

 axes rectangulaires Ox, Oy et M un de ses points 

 pour le quel idw ïl: t — e, s —'Ç. Je vais calculer la 

 différence des valeurs de * (0), aux points iST et N\ pris sur la normale en 

 M à des distances infiniment petites MN , MN' égales entres elles, et le 

 caractère analytique au quel je veux parvenir résultera de ce que cette diffé- 

 rence est une quantité finie. 



Formons d'abord l'équation de la normale en partant de la relation: 

 [X — x) dx -\- [Y —y)dy — 0, où i et Z désignent les coordonnées de la 

 droite et x et y celles de la courbe, que l'on suppose fonctions de t. On peut 

 la remplacer par les deux suivantes: 



dy 



X-x= X 



Y-y=-X 



dt 

 dx 



dt ' 



X étant une indéterminée réelle ; on en tire : 



. ^^ . d (x + iy) 



X-x + i {Y-y) = -tX ^^ 



et par conséquent: 



dz 



X + i Y=z — iX 



dt ' 



Maintenant l'équation de la courbe étant donnée sous la forme G {t, z) = 0, 

 nous en déduisons: 



dz _ A G- (t, z) 

 dJ ^ ~ D,G {t,z)- 



