Sur quelques poinis de la théorie des fouettons. 81 



F {t, z) = F {t, ^) + liX ç ^-^^ 



O {t, z)= G {t, Q + itX Qje^f) 



Enfin mettons pour abréger P et Q au lien de 7' (0, 'Q et Q (g, p; ces 

 expressions donneront : 



^(N)^Ç'' QF {t,^) + ieXPB {t,^) 



Passant ensuite du point N à son symétrique N' , il viendra par le chan- 

 gement de 1 en — A : 



''*„ Q(^it,Z) - i,XFQ{t,'Ç) 

 et après une réduction facile: 



a> (N') - (N) = r '' 2 «.A p Ö r^(^, ^) Qit,^)-G{ t ,S)B{t,m .. 



Voilà donc la quantité dont j'ai maintenant à déterminer la valeur. C'est 

 comme vous voyez une intégrale singulière puisque X doit être supposé infini- 

 ment petit, et nous avons à considérer uniquement les éléments infinis donnés 

 par les valeurs de la variable, qui annulent G {t, f). Or une telle valeur est 

 t = e; j'ajoute qu'entre les limites t = t^, t = ti, l'équation G {t, t;) =0 ne 

 peut avoir aucune autre racine 1 = 0'. Cette circonstance ne s'offrira en effet 

 qu'autant que s = ^ sera un point double, et alors devront avoir lieu comme 

 il est très-facile de le reconnaître, les conditions: 



G {t, z) = 0, Di G {t, z)^0, D,G {t, 2) = 

 contrairement aux restrictions, qui ont été faites pour obtenir l'équation de la 

 normale. Il suit de la que nous pouvons poser en négligeant le carre de t — e: 



G{t,^) = {t-e)F 

 puis remplacer immédiatement par 9, la variable /; on trouve ainsi en simpli- 

 fiant, l'expression si connue où ft. et v sont des quantités positives infini- 

 ment petites: 



e+v 

 'P(N')-'P(N)= 2ijre7Xe,r) Ç X dt ^ 2i: tt Fje,^ ) 



Pie, S) J it-ef + X' F(e,t) 



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