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Ce résultat met en évidence pour les courbes A MB, le caractère ana- 

 lytique de coupures à l'égard de la fonction (/J {z). La discontinuité est même 

 d'une nature plus complexe que celle, qui joue un si grand rôle dans les tra- 

 vaux de EiEMANN, puisque la dioërence des valeurs de la fonction aux deux 

 points en regard N et N' n'est plus seulement une constante, mais varie avec 

 la position du point M. Par la se trouvent rattachées à des considérations 

 élémentaires qui s'offrent je puis dire nécessairement au début du calcul inté- 

 gral, les vues exposées récemment par Mr. Weierstrass sur le mode d'exi- 

 stence des fonctions de l'Analyse. (Sur la théorie des fonctions; Comptes rendus 

 de l'Académie des sciences à Berlin, Août 1880.) J'essayerai tout à l'heure 

 d'y revenir, mais je veux immédiatement faire une application de la formule 

 obtenue à un exemple qui permette de vérifier le résultat. 



C "^ t" sin ^ , , , 



Soit- O (s) = 1 ^^ r^2 <-^t\ on trouve sur le champ que les cou- 



^ '' J,) \ + Il cos s + t 



pures sont les droites x={21i+\)n, A: étant entière; mais il faut bien re- 

 marquer que chacune de ces droites est dans toute son étendue une coupure, 

 pour l'une et l'autre des intégrales: 



Ç 1 f sin z Ç"^ t" sin z 



J \ + 2t cos7+ f ^* ^^ J , r+ 2 ^ cos ^ + 1' ^^ 

 qu'il faut par suite considérer successivement pour obtenir la variation åe(I>{z). 

 Soit en effet: ^= (2 Ä;+ 1) :» + «ê et pour li.ver les idées supposons ^ positif; à 

 cette valeur de ^ correspondent deux valeurs de t, l'une plus petite que l'unité 



6» = e~^ et l'autre plus grande e = e . Nous avons en conséquence pour la pre- 



mière intégrale, une variation que la formule générale: pT^T) ^P^^^ 



des réductions faciles et en remarquant que t--l, donne égale à jre . Pour 



la seconde on obtient par un calcul semblable jre" ; il en résulte que: 



(/>(iV') - a>(i\r) = ;r(e"^ + e""^) 

 C'est ce que je vais vérifier au moyen de la formule de Legendke: 



I 



r sin z 71 ?>vtiaz 



dt = 



\ l + 2t cosz + f 



où l'on doit supposer la partie réelle de z comprise entre — :t et +:r. Mais 

 nous avons évidemment (l> {z + 2:t) = (z), ce qui permet d'obtenir la fonction 

 dans tout le plan, et va nous donner les valeurs de: 



0{N') = a>[{2k + l):t + iè-X\, 

 0{N) = (l>[{2k+ l);r + iê + 2]. 



