Sur quelques points de la théorie des fonctions. 83 



Observant que la quantité infiniment petite 2, est positive, je retrancherai 

 de l'argument de la [iremiére 2]in, et de l'argument de la seconde 2(k + \):T. 

 Cela fait il est premis de poser 2 = 0, et nous trouvons immédiatement : 



^ '' sman > \ ^ sin a ä 



tl'o» : ci> (N') -a>(N) = 2:rcosiai = n (e"^ + e""^) 



On voit ainsi pour le dire en passant, combien une observation plus atten- 

 tive de résultats de calcul intégral depuis longtemps connus, aurait pu aisé- 

 ment conduire aux notions analytiques nouvelles, de notre époque. 



La notion de coupure se présente de la manière la plus simple dans un 

 cas particulier que je vais maintenant considérer. Soit f{t) une fonction uni- 

 forme qui ne contient pas z et ayant un nombre fini ou infini de pôles. Si 

 l'on pose : 



(I>{z) =-. f fit + s) lit 



vous voyez qu'à chaque pôle correspond une coupuie représentée par un seg- 

 ment de droite parallèle à l'axe des abscisses, ou par cette parallèle tout en- 

 tière si les limites sont — co et + oo . Cela étant, la formule générale: 



s'applique seulement dans le cas des. pôles simples. Désignons l'un quelconque 

 d'entre eux par ^;, l'affixe .Ç, du point 31 de la coujuire se détermine en po- 

 sant: e + ^ = p; nous observons ensuite que si l'on fait: 



f (t) = ^||- , on aura : P {t, z) = G' (t + z), Q {t, z) = G' {t ^- z) d'où : 



Q{t.z) -"■ 

 ainsi a doit être supposé égal à — 1. Nous trouvons donc en changeant les 

 signes des deux membres : 



' r.A7^ f.. ATM ^i^F(e + '0 2i:t.F{p) 



a>(iV)-0(ivr).__^,^___ = _ -^'(^r 



F{p) 

 où la quantité "T^r^. s est précisément le résidu de f{t) correspondant au pôle 



p. Le résultat ainsi obtenu subsiste quelque soit l'ordre de multiplicité, on le 

 démontre aisément comme il suit. 



