84 



('h. Heumitk. 



Considérons la fonction rationnelle, on plntot le groupe des fractions simples: 

 B B' B!' 



+ 



t-p ' {t-pf ' (t-pf 

 qni est tel qu'en le retranchant de f{t), la différence soit finie pour t~p. liest 

 clair qu'à l'égard de la coupure attachée au pôle 'p, on obtiendra la différence 

 fI>{N) — 'I>{N'), en substituant cette fonction rationnelle à f{t). Or la frac- 

 B 



tion simple 



t~ p 



, conduit comme nous l'avons dit à. la quantité constante 



— 2 in B; pour les autres termes de la forme 



tégrale : 



t.. 



1 



(t-p) 

 1 



^qrr on a à considérer l'in- 



dt. 



(t-9 + iXY + ' [t-B-iX)"^' 



en faisant: z — e—p^ ou a est quantité complexe entre #„ ^^' U- La valeur 

 rationnelle de l'intégrale indéfinie, -à savoir: 



1 



n 



1 



[t-Q + iXy (t-e-iX)" 



montre qu'elle s'évanouit avec X, de sorte que nous avons simplement: 



*(iV) - *^{N') =- 2i:T R. 

 Ce résultat est susceptible de beaucoup d'applications; en premier lieu je 

 vais en déduire en supposant que f{t) soit une fonction rationnelle, la valeur de 

 l'intégrale définie, 



+ x 



— X 



Partant pnur cela de la fonction: 



+ y 



iï>{z)=^ f{t + z) dt , 



— ce 



je remarque d'abord que l'on a: 



+ 00 



'^'(^)-- j f'{t + ^)dz, 



— 00 



et par conséquent: <D' (^) = 0, si l'on admet comme il est nécessaire que f(t) 

 s'annulle pour des valeurs infinies de la variable. On voit ainsi que «/> (z) est 

 une constante indépendante de s, mais cette constante qui reste la même entre 



