Sur quelques points de la théorie des fonetions. 85 



certaines limites, change de valeur en passant d'un intervalle à un autre, comme 

 on va voir. Nommons ao + ih„, ax + ihy ^ . . . a„-{-ih„, les pôles de f(t), 

 rangés suivant l'ordre croissant de grandeur des coefficients de /, et R^, i?, , 

 ... B„, les résidus ((ni leur correspondent. Les coupures de '/> (0) seront les 

 ))arallèles à l'axe des abscisses, représentées par les équations: a^ + ib^^ = i + z, 

 Ui -\- ibi = t + z' , .... ou bien en faisant 2 = x + iy: y^ + hg, y/ = + ^, 

 . . . etc., et ces ])arallèles pourront se trouver en partie au dessous et en 

 ])artie au dessous de l'axe des abscisses. Cela étant, dans toute res])ace si- 

 tué au dessus de la première, !J- + ho, la valeur de <I> {z) ne change point 

 et peut s'obtenir par conséquent, si l'on suppose s = — œ. On a donc alors 

 f/» (^) = 0, la fonction /'(/) étant nulle iionr une valeur infinie de la variable. 

 Franchissons maintenant la première coupure, <l> (e) s'augmentant de la quan- 

 tité — 2in Ro devient égal par suite à —2in Eo- En dépassant la seconde y = b^, 

 on trouvera pareillement: (I* (z) =^ -2ix (R0 + R,), et si l'on continue ainsi de 

 manière à atteindre l'espace illimité au dessus de la dernière coupure y = b„, 

 nous obtiendrons pour cette dernière région : 



0(^) = -2^•ff(J^„ + i^, -f . . . + R,). 



Mais alors, comme ijoni- la iiremière, la valeur de './> (z) se trouve égale 

 à zéro en faisant = + œ, d'oii la condition bien connue 2JR = (), qui exprime 

 que le degré du numérateur de la fonction rationnelle, est inférienr de deux 

 unités au degré du dénominateur. Ce qu'on vient de voir donne pour tout le 

 plan la détermination de * (z), et nous en concluons l'intégrale proposé, sous 

 la forme: 



<D{z) = - 2in [R, + R,+ . . + R,\ = 2t:t [i?, + , + i?, + , -f . . + Ä,J 



en supposant que la dernière des coupures située au dessous de l'axe des ab- 

 scisses soit y -= bi,. Et en même temps se trouve sous forme d'intégrale 

 définie l'expression analytique d'une fonction qui représente dans l'intervalle de 

 deux coupures consécutives une constante qu'on peut prendre à volonté, et dont 

 la valeur en dehors du système des coupures est zéro. Soit pour abréger, 

 ^ = «0 + i^o 5 i^i = «1 + ?" ^1 etc. et posons : 



ou bien : 



ffA _ _ÇoiPo^Pl) C\ (P1-P2) Cn -i (Pn -1 - Pn) 



^^^ ' (t-p:) [t-lh] + {t-p.) (t-p.) + • • • + {t-p„_,) (t-p,) 



la fonction: 



