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+ œ 



aura jjour valeur — C'o, entre la première et la seconde coupure, — C'i entre la 

 seconde et la troisième, et enfin — C„_i dans le dernier intervalle. Remplaçant 

 enfin ces constantes par des fonctions arbitraires de z à savoir Fo Ci), I\ {s) , 

 i^„_i {g) , on parviendre à rex])ression suivante : 



+ 00 +GC 



2in. a> (^ = F,{^) f (ih-Po) dt + F,{z) f ilh-lh) dt 



''- a. {t -Po - s) {t -pi -Z) '_ 0. (t -pi - Z) {t-pi - Z) 



t' „ f/ — >n . — Al (t- 



{t-p„-y-z){t-p^-z) 



par laquelle n fonctions diverses sont successivement représentées dans les in- 

 tervalles considérés. 



Ce résultat peut se généraliser si l'on suppose que la variable t cesse 

 d'être réelle pour suivre un chemin déterminé, les droites qui figurent les 

 coupures ayant alors pour transformées des lignes courbes dont la nature 

 dépend de ce chemin. De la me semblent résulter pour la conception géné- 

 rale des fonctions en analyse des conclusions semblables à celles qu'à obtenues 

 M. Weierstrass en se plaçant à un point de vue bien difi'érent, dans un tra- 

 vail de plus haut intérêt sur la théorie des fonctions publié par l'illustre géo- 

 mètre dans les Comptes Rendus de l'Académie des sciences de Berlin (Août 1880). 



Je vais encore traiter de la même manière que précédemment la déter- 

 mination dans tout le plan de la fonction: 



2.T + t„ 



0{2) = f f{t + z) dt 



«0 



ou f'(t) est une expression rationnelle en sin t et cos t sans partie entière et 

 qui est par suite finie pour des valeurs imaginaires infinies de la variable. On 

 voit tout d'abord que <i> (z) est une constante, puisque l'on a: 



2œ + to 



O' (z) = f f'{t + s) dt = /"(2;r + 4 + ^) - f(io + ^) 



to 



et par conséquent ^' (^) = 0, la fonction f(t) ayant 2:rr pour période. Désig- 

 nons maintenant par p^ = a^ + iho , p^ = ai + ihi , ... p„ = a„ + ih„ , les pôles 



