Sur quelques points de la théorie des fonctions. 87 



de /' {t) qui sont compris entre l'axe des ordonnées et une parallèle h la di- 

 stance 2.T de cet axë. Supposons les toujours rangés suivant l'ordre croissant 

 de grandeur des coefficients de ?', et soit: B„ , li^, .. i?„, les résidus qui leur 

 correspondent. L'un quelconque d'entre eux j>,, , détermine une coupure repré- 

 sentée par l'écpation: 



d'où l'on conclut en faisant ^ = x + iij: 



t + X = flj. + 2wjr, ?y = h,, . 



La première équation donne pour x toutes les valeurs de - qo à -|- oo , 

 si l'on fait varier t de /„ à 2;r + <„, par conséquent les coupures sont les di- 

 verses droites: y = K, 11=^ h, ■ ■ y = à„ . Ceci établi, désignons par H 

 la valeur que prend f{t + e) en faisant ^=x-\-iy et y infiniment grand négatif, 

 nous aurons dans la région du plan située au dessous de la première coupure: 

 tl> {£) = 2 n H, puis successivement, entre la jjremière et la seconde coupure, 

 la seconde et la troisième, etc.: 



{s) = 2nH-2 in R, , <b (^) = 2nH-2iit {R, + R,) etc. 



Enfin on obtient pour la région qui s'étend à l'infini au-delà de la der- 

 nière coupure: 



0(^) = 2:iH-2i:t. (R, + Ri + ... + R,,). 



Cette expression qui complète la détermination dans tout le plan de la 

 fonction * (s), donne lieu à une remarque. Si l'on nomme G la valeur de 

 f{t + ^) pour z = x + iy, et y infiniment grand positif, on a encore dans cette 

 dernière région: <D{^) = 2nG, or de la résulte la irlation que j'ai donnée 

 dans nnin Cours d'Analyse (page .328): 



R0 + R1 + ... +R,. = i {G - H). 

 On en tire immédiatement si on l'applique à l'expression: 



Cotg — 2 / (0> 1'^ décomposition de / (t) en éléments simples. 



Voici maintenant une détermination d'intégrale définie. Soit: J=\ -— dt 



— oc 



it 



o 



nous aurons une seule coupure, l'axe des abscisses, et comme le résidu de 



est l'unité, on obtient au dessous de cet axe: ^=0 et au dessus J=2iit. 



Faisons ensuite Jq = — dt nous aurons inversement /„ = — 2ijr au 



dessous de l'axe, J„ = au dessus et on en conclut: 



