Sur quelques points de la théorie (les fonctions. 89 



seront d'abord: 



y = bo. y = bi... y = h„, 



puis en attribuant à ft toutes les valeurs entières de — oo à + oo : 



y = ho + 2iiK\ y = h + 2^,K'. y = h„ + 2 n K'. 



Nommons encore, Rç, , Bi , . . i?„ les résidus correspondents aux pôles, 

 2)o , 2h , ■ ■ ■ Pn ■ Il est clair qu'étant donnée la valeur constante de ä> {2) 

 entre deux coupures consécutives, on en déduira la détermination de la fonc- 

 tion dans tout le plan. En supposant par exemple qu'entre la coupure y — b„ 

 et celle qui la précède, y = b„ — 2 K', on ait <1> (e) = *„ , nous obtiendrons 

 successivement, entre la première et la seconde, la seconde et la troisième etc. : 



'/>(^) = (I>o - 2in B, 



^(2) - 0*0 - 2^;r (Bo + Bi) 



puis immédiatement au dessus de la dernière y = b„ : 



Mais les points de cette région s'obtiennent en ajoutant 2 i K' aux points 

 de la première, dans laquelle nous avons * {s) = *o- On doit donc retrouver 

 cette valeur <i>o , ce qui donne la relation fondamentale de la théorie des fonc- 

 tions doublement périodiques: 



i?o + i?i + . . . + i?„ = 



que la considération des coupures permet ainsi de démontrer sans recourir à 

 la notion des intégrales curvilignes. 



P. S. Au théorème sur la somme des résidus d'une fonction doublement 

 périodique se joint un autre dont j'ai déduit la décomposition de ces fonctions 

 en éléments simples, et qu'on démontre encore avec facilité. 



Soit f{t) la même fonction que précédemment, et posons: 



il consiste en ce que la somme des résidus de F (t) est indépendante de la 

 quantité |. 



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