Sur quelques points de la théorie des fonetions. 91 



^at 



Soit d'abord, f{t) = n~T r ; les pôles de cette fonction sont: t = 



(2(i. + l)in. et en posant: 



— œ 



nous en conclurons pour coupures, les droites y — (2 fi + 1) n. Considérons deux 

 points 2 et z + 2in, séparés par la première coupure au dessus de l'axe des 

 abscisses y = tc : le résidu de f(t) qui correspond au pôle t — in, a pour 

 valeur — e'"'^» , et nous avons par suite: 



0{g + 2iit) = (^) + 2«>e'"'' 

 Mais d'autre part: 



(^ + 2 ^■ jr) = ( f{t + ^+2in)dt= e"'"" (/) 



'-— ce 



d'où la relation: 



j: / \ n- ITC a 'li.Ta j^ f \ 



(^) + 2t3te = e (^) . 



et par conséquent: 



zîjre n ■ 



0(.) = 



1 —e 



Soit en second lieu: 



-'"" smaff 



gO« _ gbt 



les pôles seront t = 2 (ti it. en exceptant la valeur fi = 0. de sorte que la fonction 



(P(^)= I f{t + s)ds, 



conservera la même détermination entre les deux parallèles y = — 2:i et y=2:i. 

 Nous pourrons donc écrire, en supposant s compris entre les droites y = — n 

 et y = :r: 



(s) = m {s + jt) 



et cette i-elation donne pour ^ = : 



'L 1-e* i. l + e' el^ 1 + e' 



