Sur quelques points de la théorie des fonetions. 93 



la variable décrive un chemin quelconque entre ces limites, la coupure recti- 

 ligne qui correspond au pôle p = a + ih^ devient la courbe représentée par les 

 équations : 



X + a = (f (m) , y + b = il< (il) 



c'est à dire le symétrique du chemin décrit par la variable, transporté parallèlement 

 à luiméme, de l'origine des coordonnées au point —a, — è, symétrique du pôle. 

 L'expression entièrement élémentaire au moyen d'une intégrale définie, de fonc- 

 tions présentant de telles circonstances, montre combien est nécessaire et je 

 puis dire générale en analyse l'idée de discontinuité si longtemps limitée à ces 

 deux faits, du passage par l'infini des fonctions fractionnaires, et des sauts 

 brusques de la formule de Fourier et de quelques autres développements des 

 fonctions en série. Mais ce ne sont pas seulement les intégrales définies qui 

 donnent naturellement et d'elles mêmes ces nouveaux modes de discontinuité 

 aux quels est attachée la notion de coupure. Il y a lieu tout autant je pré- 

 sume, à l'égard des équations linéaires: 



^ (^' ^) ~di^ + ^i i^> ^') cit--^ + . . . = 



de considérer la variation de l'intégrale, aux deux bords de la courbe définie 

 par la condition G {t, z) = 0. Et à l'égard d'une équation: 



dont les coefficients ne contiennent pas --, on obtiendra des coupures rectilignes 

 attachées aux points singuliers, en introduisant cette variable de la manière 

 suivante : 



d"v d"~^u 



G{t + z) -^ + G,{t + z) ^+.... =0 



Enfin d'autres circonstances que je ne puis qu'entrevoir obscurément seront 

 sans doute révélées par l'étude de l'intégrale double: 



Ùt Çdu ^(/'^'^) 



La condition G (t, u, <) = 0, ne définirait elle pas en faisant varier t 

 et u entre les limites de l'intégrale un espace pour le quel échapperait la 

 définition de la fonction de sorte que dans la conception générale de fonction 



