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on doive admettre ainsi que l'a déjcà remarqué M. Weierstrass l'existence de 

 lacunes, comme possible?*) 



*) Voici au sujet de ces fonctions présentant des espaces lacunaires, des résultats extrême- 

 ments intéressants qui m'ont été comuniqués par un de mes élèves M. Poincarré. Ingénieur des mines, 

 professeur à la Faculté des Sciences de Caen. 

 Soient 



Ui , U2 1 . . . • U^ 

 n quantités imaginaires de module plus petit que I, 



CCj ^ 0^2 • • • CC^i 



n quantités imaginaires quelconques, x la variable indépendante. La série : 



y.^P^ ^1 +i?2«2 + ••■ +!>««« 



P1+P2 + ■ ■ •+i'« 



ou l'on donne ^ Pi , Po . . . î>„ toutes les valeurs entières positives, sera convergente si x est 



extérieur au polygone convexe circonscrit aux n points; «j , «2 , ■ • • <^n'i ^^'^ *^'^ divergente 

 s'il est à l'intérieur de ce polygone. Elle définit donc une fonction présentant ce polygone comme 

 espace lacunaire. Cette fonction n'est qu'un cas particulier de la suivante. 

 Soit une équation aux différences partielles, 



/i\ TT ds , -p dz , , TP dz 



(1) Ml F^ — — + M2 Fo — -- + . . . + M„ F„ — -- = z 

 dUi du2 (iu„ 



ou Fl , F2 ■ • • F„ sont des fonctions développées en séries suivant les puissances croissantes de 

 Mj , W2 . . M„ et d'un paramètre arbitraire ic; ces fonctions sont supposées se réduire respectivement à 



pour 



Ml = Ma = • • • = M„ = 0. 



Il existe une série ordonnée suivant les puissances des quantités u. et satisfaisant formellement 

 à l'équation (1). Les coefficients de cette série et sa somme quand elle est convergente, dépendent de x. 



Donnons à Mj Mj ; . . . M„ des valeurs de module suffisamment petit, la série définira une 

 fonction présentant comme espace lacunaire, le polygone convexe circonscrit à Kj , Kj • • • <*«• 



