Några antalbestämningar för tangenter på en yta och 

 i ett enkelt system af ytor. 



I det utmärkta arbetet ,.Kalkyl der abzalileiideii Geometrie von H. Schu- 

 iîert' finnes en mängd antalbestämningar utförda såväl i)å grund af karakte- 

 ristik-teorin som ock medelst coiucidens- (Chasi.es's correspondens-) formler. Sär- 

 deles intressant och enkel blir bestämningen af tangent-singulariteter på en yta 

 medelst de af Halphen, Zkuthen och isynnerhet Schubert införda symboliska 

 räkningar. För en allmän yta är tangent-teorin utförligt behandlad af Schubert; 

 Zeuthen och Krey hafva uppställt formler, hvilka gälla, ifall mångfaldiga li- 

 nier förcfinuas på ytan. livad sjstem af ytor beträffar, hafva dessa mindre 

 utförligt blifvit studerade. Af alla yt-systemer är yt-knippen det enklaste. Då 

 i Schuberts arbete yt-knippen och dess förhållande till eii enskild yta ej blif- 

 vit behandlad, men likväl dessa förhållanden enkelt framgå från de symboliska 

 formlerna, har undertecknad i det följande uppställt de vigtigaste hithörande 

 relationer. I sammanhang dermed hafva vi utvecklat formler för tangering på 

 en yta och särskildt de, hvilka gälla för tangentens enkla skärningspunkter. 

 Dessa formler äro uttryckta såsom funktioner af några lätt bestämbara antal. 



I denna afhandling skola vi först härleda tangent-relationer för en enskild 

 yta, derpå bestämma tangcrings-vilkoren för ett enkelt system af ytor samt 

 slutligen söka de gemensamma tangenternas antal i ett system och en enskild 

 yta. Vi begagna oss i det följande af Schuberts symboliska beteckningar- 

 Med p betecknas en punkt, med c ett plan och med g en rät linie. Symbo- 

 lerna p och Pg beteckna, att punkten ligger på ett i)lan, resp. rät linie; e och 

 Cg, att planet går genom en punkt, resp. rät linie. Symbolerna g, g,, g^,, g, 

 och G betyder, att linien skär en annan rät linie, resp. ligger i ett plan, går 

 genom en punkt, tillhör en strålknijjpe eller sammanfaller med en bekant rät 

 linie. Med t betecknas coincidens-vilkor. Sålunda betecknar fj vilkoret, att 

 två elementer i systemet sammanfalla, t^ , att elementerua sammanfalla två och 

 tre 0. s. v. 



§ 1. Tangenter på en yta. 



Vi betrakta en yta af w;te ordningen, d. v. s. en yta, af hvars punkter 

 n ligga på en rät linie. I stället för att betrakta j'tan såsom ort för dess oo^ 



13 



