98 E. BONSDURFF. 



punkter, kan densamma äfven betraktas såsom ort för dess oo^ tangenter eller 

 00" tangerande planer. Antalet tangenter i en strålknippe utgör dess rang och 

 antalet tangerande planer i en plankni])pe dess klass. Emedan planet af en 

 strålknippe skär ytan i en kurva af w.te ordningen och således af w(w— l):te 

 rangen, utgör antalet af de till strålknippen hörande yt-tangenternas antal äfven 

 n (n — 1), hvilket tal följakteligen är ytans rang. Om genom en punkt dragas 

 tangenter till ytan. bilda tangeringspunkterna en kurva. Såsom förut bestäm- 

 des, ligga af dess punkter w(w— 1) i planet genom den gifna punkten. Detta 

 tal utgör således ordningen af orten för de punkter på ytan, hvilkas tangerade 

 plan gå genom en gifven punkt. Lägges genom två punkter på en rät linie 

 tangerandeplan, bilda tangeringspunkterna två kurvor, båda af ordningen n{n~l). 



Dessa skära livarandra enligt en bekant sats i . n {n—\). n(n—l) = n{n—lY 



punkter. Detta är således antalet tangerande i)lan, hvilka genom en rät liuie 

 kunna läggas till ytan, d. v. s. lika med ytans klass. 



Vid härledningen af tangentformlerna skola vi begagna oss af följande 

 symboliska beteckningssätt. Med b^, èj , ^4 , beteckna vi tangeringspunkter för 

 resp. två-, tre- och fyrpunktig tangering. Symbolerna pi, p^, p-^ beteckna 

 tangenternas enkla skärningspunkter. Sålunda betecknar f,, hi p^ antalet enkla 

 tangenter, för hvilka tangeringspunkten ligger på räta linien i/ samt dessutom 

 en enkel skärningspunkt i i»lanet p^ ; t-, Pi g är antalet inflexionstangenter, 

 hvilka skära en rät linie g så, att en enkel skärningspunkt ligger i planet pi] 

 fo 2 g^ är antalet dubbeltangenter, hvilka skära två räta linier. Vid antalbe- 

 stämniugarne betjena vi oss af coincidensformeln af första dimensionen 



e=p,+p^-g, 



der punktparet pi och p. ligger på räta linien g.*) Som bekant utgör en 

 linieytas grad antalet af alstrande linier, hvilka skära en gifven rät linie. 

 De tangenter till ytan af n:te ordningen, hvilka upjifylla det vilkor, att genom 

 en rät linie kunna läggas m sådana, bilda följakteligen en linieyta af w.'te 

 graden. Denna yta skär ytan af «.te ordningen i en kurva af ww.-te ordnin- 

 gen, af hvars punkter således mn ligga i ett plan. Bland dessa punkter fin- 

 nas enkla skärningspunkter, tangeringspunkter för tvåpunktiga, trepunktiga o. 

 s. v. tangenter. Hvarjc enkel skärningspunkt bör" tagas en gång, hvarje van- 

 lig tangeringspunkt 2 gånger, beröringspunkten för en inflexionstangent 3 gån- 

 ger 0. s. v. Detta förhållande kan uttryckas genom följande theorem; 



*) Schubert; Abzählende Geoinetiie, pag. 44, 



