Isåfjra milalhi'stmmih/fjar för f(iii;/(nf(r pt'i m yla. 99 



I. Om k, I, m . . . beteckna fålen ], 2, 3 . . . samt P en produlxt af 

 symboler . i hv/lken im/ä i enkla skärningspunkter p^ p., . . . , har man 



n. t^„„ P.g = k f,i„, P /;, + / ï,,„, P b, + m t,,,,, P h,„ + t,,,,, Pjj, + f^,,,, Pp, 



+ • • ■ + %,„ Ppii-i , 

 der alla termer ära af 4:de dimensionen. I fall två af termerna k t^i,„ P b^, 

 1 1^,,„ P bl, m ti,,,,, P b,„ blifva identiska., bortfaller den andra från utvecklingen. 



Sålunda har man exempelvis 



n. fä 3 if = 2 f 2 3 iä + 3 ê, 3 63 + é.j 3 ^1 

 n. ti^p^g = 2 t.i., pih + ^ .,p,' + t^^p^ p^. 

 Vi utgå från antalen för enkel tangering, dcri utom coincidens-symbolen tv. 

 endast ingå symbolerna b^, pi,p.,, p-,, således från de symboliska produkterna 



(1) . . . . e,bip,, t,b^p,p,, hi:iPi\ hPi^'P'i, ^p.PiPz. 

 Ifrån dessa kunna genom användning af coincidensformeln härledas de sym- 

 boliska produkterna 



f 3 bi\ f 3 &3 ^1 , tj p^ p, . 

 Ifrån dessa vidare t^ h, och f, p^ samt slutligen t-,. Härledningen af an- 

 talen för mångdubbla tangenter erhållas genom samma coincidensformel ytterst 

 enkelt, exempelvis ï^ ,, i./, f, 3 ?>i , ^2 2 a 2 o. s. v. Alla dessa antal utgöra så- 

 ledes funktioner af produkterna (1). Enligt föregående theorem kunna alla an- 

 tal, der symbolerna g, g' och r/' ingå, uttryckas äfven såsom funktioner af (1). 

 Medelst några incidensformler blifva äfven de antal, der g^,, g, och g, ingå, 

 funktioner af (1). På grund häraf förefaller det naturligast, att söka uttrycka 

 alla tangentsingulariteter genom de fem enkla uttrycken (1). Genom de form- 

 ler, hvilka erhållas, framgå äfven värdena på (1). För korthetens skuld 

 sätta vi: 



«2 bitPi = «1 



f2 h Pl Pi = «2 



hhPl^ = «3 



^üPl^'P,. = «4 



^iPlPlPz = «5 • 



Då vi använda theorem I och observera, att a^ i/ = O och t^ p,^ = O, 

 finna vi 



n. i^bi g = 2 fä i/ + i.,bi p^ = «^ 



n. t.,b., p,g^ 2e.,bip, + t^i^iV + hhPxpz = 2«^ + «2 +- «3 

 n. i^p^ g = li^bop^ + t^p^ + i,_p^p^ = 2 «3 + «4 

 . *«• ^iPxPid = 2 fä b^p^p^ + 2 HPxP% + inPiPiPs = 2 «2 + 2 «, + «5 . 



(2) 



