Några antalbestämningar för tangenter på en yta. 



101 



(8) . 



ti ai = (w-3) f3 ^^3- + t^ h^ p, — (w - 3) ê;, h^g = {n- 3) (5n - 1 2) «1 + 9 «2 

 - 3 (w - 3) «3 : n^ 



e,p, = (»^4) t, h,i), + hlhpz - (»-- i) ^3 2^1 (/ = («-2) (w-3)' (n-4) «, + 

 (w-4) (7w-17) «2- (m-3) (w-4) (2w-5) «3 - 11 («-4) «4 + 16«^ : w' 

 och 



(9) . . n. t^g^ 4f, i^ + hPi^ (w-3) (w^* - 9w- + 46w - 72) «1 + 



(7^î'-45h + 104) «,-(w-3)(2w~-13w + 32)f^,-ll (w-4) (u+\Qa^-M' 



För beräkningen af t^ låter man på en fyrpunktig tangent tangeringspunkten 

 motsvaras af («—4) skärningspunkter. Coincidenspunkten utgöres af t^ . Så- 

 lunda fås 



(10) . . f5 = (w-4) f4 h, + (, p, ~ (k~4) fig = (w-3) (w-4) {9n~ - 52w + 72) «, 



+ («-4) (37« - 104) «, - («-3) {n-4:) {Un - 32) «3 - 44 (w-4) «^ 



+ 64«5 : m'. 

 Hvad antalen för mångdubbla tangenter beträffar, uttryckas dessa genom 

 coincidensformlcr medelst antalen för motsvarande tangenter med en tangerings- 

 punkt. Vi vilja i det följande utföra på några undantag när endast de antalbe- 

 stämningar, hvilka ej finnas upptagne i Schubeuïs arbete. För dubbeltangenter 

 erhålla vi följande relationer: 



t, 2 6/ = 2 {n-?>)t, h,^p, - («-2) (n-3) i, hi g = (w + 2) (w-3) a, : n 

 tizhPi = '^ (w-4) ^ ia p^ p., - (m- 3) («-4) ii b.i p, g 

 = (w-4) [ (w + 3) «o - (w-3) (2«, + «3) ] : w 



(11) . . ■ 2. t,,p,' = 2 (w-4) i,p,'p, - (w-3) (w-4) e,p,' g = 

 (w-4) [(w-h 3) «4-2 (w-3) «3] : w 



2. t,,pip, = 2 (w-5) tip.PiP, - (w-4) (w-5) i,pip>.ig = 

 (w-5) [(w-l-4) «5-2 (w-4) («2 +• K4) ] : w 



»«• fa ai^i 5' = 2 62 2 ia J)i + f2 .i^i' + £a ai?, J^a = 2 (w-4) (w+ 1 1) «2 - 6 (w-3) 



(w-4) «3-8 (w-3) (w-4) «, - (w-4) (w-13) a, + (w + 4) (w-5) «^ : 2w 



Orten för de enkla skärningspunkterna på en två- trepunktig tangent blir 

 en kurva af ordningen 



hsPi = {n-5) «a iPi h + ^h iPiPi - 2 (w-5) f2 2P1 9 



(12) . . -v eller också 



f2 3 2^1 = 2 (w-5) fg pi p-i - (w-4) (w-5) {3 p, g 



Slutligen finna vi, att ortens ordning för de enkla skärningspunkterna af 

 en tredubbel tangent är ^ af 



