104 E. BONSDORFF. 



§ 2. Tangenter i ett ytsystem. 



Vi öfvergå nu till behandlingen af tangent problem i ett enkelt system af ytor 

 af m:te ordningen. Emedan i ett sådant system finnes co^ enkla tangenter, co^ 

 inflexions-, œ'" fyrpunktiga-, co' fempunktiga- och ett ändligt tal sexpunktiga 

 tangenter, kan man underkasta en enkel tangent ett vilkor af fjerde, en in- 

 flexionstangent af tredje, en fyrpunktig tangent af andra och en fempunktig af 

 första dimensionen. Vi beteckna med fa en tvåpunktig, t^ en trepunktig coin- 

 cidens o. s. v., med ^2 ? ^3 o. s. v. motsvarande tangeringspunkter. Vidare må 

 ft beteckna antalet ytor genom en punkt; samt v antalet ytor, hvilka tangera 

 en rät linie. 



För en enkel tangent söka vi antalen tohi (), e-^b-i'c/e, ^■iK'Op-, fih(J.s, ^2 <?, 

 för en inflexionstangent antalen ^3 63^ // , £3 b^ g, , £, 63 gp, «3 g, , för en fyrpunktig 

 tangent ti ht g, e,g„ i^g^,, fib^^ samt för en fempunktig f^h^ och fr,g. För be- 

 stämningen af dessa antal, begagna vi oss af incidensformeln för stråle och 

 punkt, neml.*) 



(1) . . . . pg = p' + g, 



(2) . . . . p^g=p'+pge 



(3) . . . . pgp=p' + gs 



(4) . . . . pg^=p'g^,^ G+ifgc 



Af definitionen på (t och d följer då först, att 



(5) . . . . f2 ^-2 9 = (h ^2 h^!/e ~ C och io G = v. 



Från (3) och (4) följer vidare, att 



(6) .... fä bo% = fo bo gs = n + v. 



Ifrån (2) och (3) erhålles, i det man observerar, att i livarje punkt af en yta 

 kunna två inflexionstangenter dragas, 



(7) . . . . f3 bi g = 63 63' + f3 b^ g, = 2(t + fg b-^ g, 



(8) .... fa &3 gp = f3 ^3' + «3 5's = 2ft + fg g,. 

 Ifrån (1) erhålles slutligen relationen 



(9) . . . . iihff = ti ^i + *4 fJi- 



Vi vilja i ord uttrycka några af föregående relationer. I (6) har man 

 satsen : 



Brages genom en punU tangenter till ett enkelt ytsystem^ bilda tan- 

 geringspunkterna en yta af ordningen ^i + v. 



*) Abz, Geometrie jiag. 25 — 2ii. 



