Några antalbestämningar för tangenter på en yta. 107 



Coincidenserna äro taiigeringsi)unkter på O. Deraf följer (15). Talet v ut- 

 gör antalet för alla tangerande ytor, deri inberäknade äfven de oegentligt tange- 

 rande, d. v. s. de, hvilka bestå af dubbelytor. För ett ytsystem af tredje gra- 

 den har man exempelvis inflexionstangenternas antal i en strålknippe lika med 

 9;«, för ett yt-system af fjerde graden gå 44ft fyrpunktiga tangenter genom en 

 gifven punkt. 



Skares ytsystemet med ett plan, erhålles ett system af kurvor af w:tc ord- 

 ningen. Ifrån eqvationerna (6), (14) och (15) erhållas theoremen: 



Om ifrån en punM dragas tangenter till kurvorna i ett enkelt ytsystem, 

 bilda tangerinnspunkterna en kurva af ordningen (t + )■. 



Inflexionstangenterna till kurvor i ett enkelt system bilda en kurva af 

 klassen 3m(m—2)^i. 



I ett enkelt system af kurvor tangera 2 (m—l) fi en gifven rät Unie. 



1 en syzygetisk knippe af tredje grads kurvor, hvilka således hafva 9 ge- 

 mensamma inflexionspunkter, och der genom en punkt endast går en kurva, bilda 

 inflexionspunkterna en kurva af 9:de klassen d. v. s. denna kurva utgörcs af 

 inliexionspunkternas produkt. 



§ 3. Gemensamma tangenter till en yta och ett enkelt system af ytor. 



Vi vilja nu betrakta ett yt-system af /»:te graden, i hvilket [i ytor gå ge- 

 nom en gifven punkt och ;• ytor tangera en rät linie. Detta system skola vi 

 beteckna med U. Vidare må F beteckna en yta af w.tc ordningen, ivte ran- 

 gen och kte klassen. Vi söka bestämma antalet gemensamma tangenter i 

 skärningspunkterna af F med U, d. v. s. antalet gemensamma bildningar, 

 hvilka utgöras af en stråle och en derpå liggande punkt. Sådana bildningar 

 finnas cc\ Emedan i knippen finnas oo^ och på ytan F oo° enkla tangenter, 

 finnes det co^ gemensamma tangenter med samma tangeringspunkter. Då det 

 finnes oo'' infiexionstangenter på F, så förekomma a>^ enkla tangenter i U, 

 hvilka sammanfalla med infiexionstangenter i F så, att deras tangeringspunkter 

 äfven sammanfalla. Slutligen sammanfalla ett ändligt antal enkla tangenter i 2J 

 med fyrpunktiga tangenter i F. Omvändt finnas det co' infiexionstangenter i 

 H, hvilka sammanfalla med enkla tangenter på F. Ett ändligt antal infiexions- 

 tangenter i H sammanfalla med infiexionstangenter på F, och likaså ett ändligt 

 antal fyrpunktiga tangenter i 2 med enkla tangenter på F. För härledningen 

 af ofvannämnda antal skola vi begagna oss af karakteristikteorin för bild- 

 ningar, hvilka bestå af en stråle och en punkt på densamma. I det anförda 



