Några antcdbestämningar för tangenter på en yta. 109 



Skärningspunkternas autal, i hvilken en vanlig tangent i ^ sammanfaller 

 med en fyrpunktig tangent i i^, fås från furmeln (1). Man finner 



(11) .... a; = v. e, b, + ft f, g - n | (2;/,-6) (:3n-2) u + (11 »-24) v]. 



På en yta F finnes föJjakteligen i hvarje punkt n tangenter., hvilka 

 je inte deras tangerin g simulier äfven tillhöra H. Bland de gemensamma 

 tangenterna förekomma inflcxionstangenter till F i punkter, hvilka bilda 

 på ytan en kurva af ordningen n (3»— 4) ;« 4- 2n v. På denna kurva 

 finnes » (2w— 6) (3?;— 2) (< + « (llw— 24) r ^jMMÄ;<er, i hvilka bland de ge- 

 mensamma tangenterna förekomma fyrpimktiga. 



Sättes i (11) » = 3, erhâllcs antalet 27 c. Emedan en rät linie ej kan 

 skära en tredje grads yta i flere än tre punkter utan att helt och hållet ligga 

 i ytan, finner man häraf det bekanta teoremet, att på en tredje grads yta 

 kunna 27 räta linier dragas. Hvarje af dessa linier tangeras af v ytor H. 

 Sättes i (9) ;/ = 1, r = O d. v. s. består systemet 2^ af en planknippe, blir 

 kurvans grad n (3w— 4), hvilket tal således utgör ordningen för de punkter på 

 F, ifrån hvilka inflcxionstangenter kunna dragas till en rät linie. Detta tal 

 öfverensstämnier med det af Schubert pâ annan väg härledda.*) 



Vi öfvergå nu till betraktelse af flerpunktiga tangenter på 2^. Skärnings- 

 punkterna, i iivilka en inflexionstangent i 2J sammanfaller med en vanlig tangent 

 på F, bilda en kurva, hvars ordning fås från formeln (5), der de sträckade 

 symbolerna tillhöra F och de osträckade H. 



Har man afseende derpå, att t., g\ = n (ii—X) och i^lJ .2.g\ — n., fås 

 (12) . . . . xp = 2n (w-1) n + n. 63 eg g, 

 De gemensamma tangenterna bilda enligt (6) en linieyta af graden 



xfi = [ig s +pgr g\ + g s ■ p g c ■ 



Har man afseende på, att enligt (14) i § 2 ^3 ^^ = 3>« (»h— 2) ft, fås, 



(13) .... a;^ = n {3m^ — 6m 4- w — 1) ;< + n (n—l) e^ b^ g^ . 



Gemensamma inflexionstangenter förekomma i punkter, hvilkas antal en- 

 ligt (2) är 



(14) . . . . X = 2n £., g, + 2« (w-1) (n-2) ;« + 3n (n-2) «3 ^3 g, 



= n {Gnf + 2n~ - \2m - Ç>n + 4) f/ + 3w {n-2) 63 ^3 g. 



\ 



*) Abz. Geometrie, pag. ^4<;. 



