Sur les fonctions à espaces lacunaires 



par 



H. POINCARÉ. 



M. Weierstrass dans un mémoire intitulé Zur Fimktionenlehre et inséré 

 dans les Berliner Monatsberichte a appelé l'attention des géomètres sur certaines 

 fonctions présentant des singularités spéciales. Au lieu de présenter un nom- 

 bre fini ou infini de points singuliers essentiels isolés elles offrent des lignes 

 singulières essentielles ou même des espaces lacunaires à l'intérieur desquels 

 elles cessent d'exister. Dans une lettre à M. Mittag-Leffler, insérée dans 

 les Acta Societatis Scientiarum Fcnnicœ M. Hermite a retrouvé les mêmes 

 résultats par une voie toute différente. D'après les conseils de M. Hermite 

 j'ai entrepris de rechercher de nouveaux exemples de la particularité signalée 

 par les deux savants géomètres. 



Il y a une infinité de manières de définir une fonction, et si on ne s'im- 

 posait a priori aucune condition, rien ne serait plus facile que de concevoir 

 une transcendante présentant un espace lacunaire quelconque; on pourrait ima- 

 giner par exemple une fonction définie de la manière suivante; elle devrait 

 être égale à 1 à l'extérieur d'un certain cercle, et cesser d'exister à l'intérieur 

 de ce cercle. Ce cercle serait alors un espace lacunaire. Si donc on donnait 

 au mot, fonctions à espaces lacunaires le sens étendu qu'il semble comporter 

 d'abord, on pourrait en imaginer arbitrairement une infinité. Il est donc né- 

 cessaire de préciser ce qu'on doit entendre par cette expression; fonctions à 

 espaces lacunaires. C'est ce qui est facile, grâce à une conception nouvelle 

 des fonctions analytiques qui a son origine dans les travaux de Cauchy et 

 que M. Weierstrass a si clairement exposée dans sou mémoire Zur Functionen- 

 lehre (Monatsberichte Août 1880, page 12). 



Considérons une série développée suivant les puissances croissantes de 

 X — Xq. Elle sera convergente à l'intérieur d'un certain cercle Co ayant pour 

 centre x^ et pour rayon E. Si on ne s'occupait que du développement lui- 

 même, on pourrait considérer la fonction définie par la série comme cessant d'exister 

 à l'extérieur du cercle de convergence, et toute la région du plan extérieure 



