344 H. Po INC ARE. 



à ce cercle comme formant un espace lacunaire. Ainsi comprise, la fonction 

 à espaces lacunaires ne serait pas une notion analytique nouvelle. Mais il 

 est un moyen bien connu d'étendre au-delà du cercle de convergence le do- 

 maine oii la fonction envisagée existe. Si l'on considère un point x^ intérieur 

 au cercle de convergence, on pourra par la formule de Taylor développer la 

 fonction en série ordonnée suivant les puissances de ;<• — Xi et convergente à 

 l'intérieur d'un certain cercle CV A l'intérieur de C'i, on prendra un point x., 

 et on développera la fonction en série ordonnée suivant les puissances de x — x.;^ 

 et convergente à l'intérieur d'un certain cercle CV La fonction se trouvera 

 alors définie non seulement à l'intérieur du premier cercle de convergence, 

 mais à l'intérieur de C^ , de G<^, etc. 



Pour la plupart des fonctions qui ont été jusqu'ici l'objet des travaux des 

 géomètres, les cercles tels que C'i , C^, etc., recouvrent tout le plan, soit une 

 fois, soit plusieurs fois, soit une infinité de fois, en laissant seulement de côté 

 certains points isolés, appelés points singuliers. La fonction existe partout, 

 sauf en des points isolés. Il n^y a pas d'espace lacunaire. 



Mais il n'en est pas toujours ainsi; il peut arriver que les cercles C^, C^, 

 etc., laissent de côté non des points isolés, mais toute une ligne, ou même 

 toute une région du plan. M. Weierstrass a le premier mis cette vérité en 

 lumière, et après lui M. Hermite a défini à l'aide d'intégrales multiples définies 

 des transcendantes qui n'ont d'existence que dans un domaine limité. 



On pourrait citer un grand nombre d'autres exemples de ce fait analy- 

 tique. Ainsi l'on sait que les fonctions définies par les séries: 



1 + T ^ ^- 2^ ^ +••••+ 2" ^ + 



et xcp{l) + x'cp{2) + . . . . + x" (p («.) + 



(où (f {n) représente la somme des puissances p= des diviseurs de n) n'existent 

 qu'à l'intérieur du cercle qui a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Il 

 en est de même de certaines fonctions que j'ai définies dans une note insérée 

 aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (séances les 14 et 

 21 Février 1881) et que j'ai appelées fonctions fuclisiennes. 



Les exemples que je veux étudier spécialement dans la présente note pré- 

 senteront les particularités suivantes. Le plan sera divisé en deux régions, 

 l'une extérieure, l'autre intérieure à un certain contour C convexe. A l'exté- 

 rieur du contour la fonction envisagée sera holomorphe et uniforme (et par 

 conséquent finie, continue, moiiodrome et monogène). A l'intérieur du contour 

 elle cessera d'exister. La région intérieure à C sera un espace lacunaire. 



