Sur les fonctions à espaces lacunaires. 345 



Si ;ro est un point quelconque extérieure à C la fonction sera dévelop- 

 pable suivant les puissances de x — x^^; le cercle de convergence sera tangent 

 extérieurement à C. Réciproquement si {x^ étant un point quelconque exté- 

 rieur à C) une fonction est développable suivant les puissances de x — Xg, de 

 telle sorte que le cercle de convergence soit tangent extérieurement à C, il 

 est clair que cette fonction offrira un espace lacunaire qui sera la région in- 

 térieure au contour C. 



Voici maintenant comment je définirai une transcendante jouissant de ces 

 propriétés. Envisageons la série suivante : 



Wl 



X ■ 







<P W 



Je suppose: 



11 que la série: 



(2) H 



mod A„ 



soit convergente 



2° que tous les points h„ soient intérieurs à C ou sur le contour C lui-même. 



3° que si l'on prend sur le contour C un arc quelconque et aussi petit 

 que l'on voudra, il y ait toujours une infinité de points ?;„ sur cet arc. 



Je pose: 



« ^ CD Ji = 00 



-Bp = N mod Ä„. "^ ^ Zj "^*^*"^ ^"" 



La série (2) étant convergente, on pourra prendre p assez grand pour 

 que Rp soit aussi petit que l'on veut. 



Je dis d'abord que si a-u est extérieur à C, la fonction (f (x) définie par 

 la série (1) peut se développer eu série suivant les puissances de a; — Xo, et 

 que cette série est convergente à l'intérieur du cercle qui a pour centre a^o et 

 qui est tangent extérieurement à C. Si en effet R est le rayon de ce cercle, 

 on aui"a pour tous les points h„ 



mod {b„ — x^ ^ R. Posons mod {x — x„) = &. R 



Supposons que x soit intérieur au cercle qui a pour centre Xo et pour 

 rayon R, on aura: 6> <^ 1. 



On aura évidemment: 



-w-î [ï (-i^ teL 



î= u 



