346 H. POINCARK. 



Il est clair: 



1=2^ que la série à termes positifs et à double entrée 



mod A„ ©»+' 



(3) X 



mod (x — Xr) 



11=0, g=0 ^ •' 



est convergente. 



2^ que 



(x -x^f 



mod 



r ^x -x,y 



mod ^„0»+' 



(è„ — ajo)' + M ^ mod (a; - a^o) 

 Il en résulte que les séries ta double entrée: 



»1=00, ç=.oo 



H=0, g=0 



et 



(^) I . ■"»" [ ^. Hif.-^ ] 



(è„ - x,)" 



«=00, ?=oo , . 



)i=0, }=0 ^ " "^ 



sont convergentes et que leur somme est indépendante de l'ordre des termes. 

 La somme de la série (5) sera donc — (p {x) quel que soit l'ordre des 

 termes. On aura donc: 



(6) -(f{x) ^ 2 B„ (*• - x,)" 



q = 



en posant: 





('/+1) 



J'ai donc démontré à la fois: 



1^ que si x est extérieur à C la série (2) est convergente et la fonction 

 cp (x) qu'elle définit est holomorphe et uniforme. 



2°= que si x est intérieur au cercle qui a pour centre Xq et pour rayon 

 B et qui est tangent extérieurement à 6', la série (6) est convergente. 



Je dis maintenant que la série (6) est divergente si x est sur ce cercle 

 ou extérieur à ce cercle et pour le démontrer, je suppose d'abord que x^ soit 

 sur la normale élevée à C en un des points &„, au point h,, par exemple. 



Je me propose de faire voir que le terme 



ne tend pas vers quand q tend vers l'infini; je vais montrer en effet que 

 l'on peut prendre q assez gi'and pour que* 



