348 H. POINCARÉ 



Supposons maintenant que x^ ne soit pas sur la normale élevée à C en 

 l'un des points h„ ; je dis que la série (6) est encore divergente quand : 



mod {x — Xo) ^ R. 



En effet supposons que cela ne soit pas vrai et que le cercle de conver- 

 gence ait un rayon jR' plus grand que jR. Ce cercle de convergence décou- 

 perait sur le contour C un certain arc sur lequel, par hypothèse, il devrait y 

 avoir une infinité de points b„. Soit b,, l'un de ces points. Elevons en ce 

 point une normale <à C et prenons sur cette normale un point x^ assez voisin 

 de h^ pour que le cercle K qui passe par b,. et qui a Xi pour centre soit 

 tout entier intérieur au cercle qui a pour rayon B' et pour centre Xo] cela 

 est évidemment toujours possible. La fonction (p (x) pourrait alors se déve- 

 lopper en série suivant les puissances de x — a;, et cette série devrait être con- 

 vergente, non seulement à l'intérieur du cercle K, mais sur la circonférence 

 de ce cercle, ce qui est contraire à ce que je viens de démontrer. 



Il est donc démontré que le cercle de convergence de la série (6) est 

 toujours tangent extérieurement à G. 



Donc la fonction cp (j-) est holomorphe et uniforme à l'extérieur de C et 

 présente un espace lacunaire à l'intérieur de ce contour. 



Je vais maintenant citer quelques exemples de séries satisfaisant aux 

 conditions imposées à la série (1). 



Soit d'abord: 



Ml U2 ....... P 



(7) (p{x) = 2j X — ^1 «1 + ^2 «2 + • • • • + lit p «p 



OT, + «»2 + .... -I- Mp 



Je suppose : 



1°^ que ?«i ,u^,....Up sont des quantités données de module plus petit que 1. 



2° que «1 , «2 , . . . . a^ sont des constantes quelconques. 



3 ° que nii, nii, . . . . tUp prennent sous le signe i: tous les systèmes de 

 valeurs entières positives. 



J'envisage le polygone P défini par les conditions suivantes: 

 1° Il est convexe. 



2 ° Tous ses sommets font partie du système des points «, , «2 . . . . «^. 



3 ° Tous les points «1 , «^ . . . . «^, qui ne sont pas des sommets du ])oly- 

 gône F sont sur le périmètre de ce polygone ou à son intérieur. 



Il est clair que: 



