Sur les fonctions à espaces lacunaires. 349 



1°= La série 



est convergente. 



2=° Tous les points 



mi «1 + w<2 cta + . . . . + i »^ cc^ 



»Wl + W?2 + . . . . + «î^ 



sont sur le périmètre de P ou bien à l'intérieur de ce polygone. 



3=?= Sur tout segment, si petit qu'il soit, de l'un des côtés de P, il y a 

 une infinité de points: 



Wi «1 + mg «8 + ■ . . . + Wp «p 

 jw, + m, + + Wp 



Soit en effet «i «j le côté du polygone considéré, il est clair qu'on pourra 

 choisir les entiers positifs ?h, et m., (et cela d'une infinité de manières) de telle 

 sorte que le point 



m, «1 + «»2 «2 



soit situé sur un segment donné du côté «j «^ . 



Il en résulte que la fonction (f (a:) est holomorphe et uniforme à l'exté- 

 rieur de F et présente un espace lacunaire à l'intérieur de ce polygone. 



Dans le cas oii j; = 3, l'espace lacunaire se réduit au triangle «i«, «3. 



Dans le cas où p = 2, l'espace lacunaire se réduit à une ligne singulière 

 essentielle qui est le segment de droite «1 cq . 



Comme second exemple je citerai la fonction dont voici l'origine. 



Soit l'équation aux différences partielles: 



^ dz -^, dz ds 



F,, F.,, . . . . jP„ sont des fonctions des n variables u-^, u^ . . . . u,, et 

 du paramètre x, holomorphes pour toutes les valeurs de x et lorsque les modules 

 de Wj, t«2 . . . . M„ sont suffisamment petits. Elles se réduisent respectivement à 



1 , a; - «2 , X — a„ 



quand on y annule tous les u. 



Dans une thèse que j'ai soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris 

 le l*?!' Août 1879, j'ai démontré que si le point x est extérieur au polygone 

 convexe F circonscrit aux n points «1, a, . . . . a„, il existe une série S 

 ordonnée suivant les puissances des u, convergente et satisfaisant à l'équation 



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