Om principen för de virtuda hastigheter na i mekaniken. 397 



Bortlemiiar man något af de funna 3 w — »t jemnvigtsvilkoren, bilda de återstå- 

 ende tillsammans med de gifna vilkorseqvationerna 3 « — 1 eqvationer för ett system 

 kurvor, uppå hvilka punkterna kunna aflägsna sig från deras jemnvigtslägen 

 och som utvisa riktningarna för ett system virtuela hastigheter. Dessa 3w— 1 

 eqvationer i förening med en godtycklig relation mellan koordinaterna och en 

 variabel k motsvara eqv. (20) i det föregående. Om de gifna vilkorseqvatio- 

 nernas antal är mindre än 3« — 1, kan således eqv. (28) icke omedelbart be- 

 gagnas till att bestämma de värden på /i, som motsvara jemnvigtskonfigu- 

 rationerna. 



Sedan samtliga obekanta blifvit bestämda, erhåller man ur in af eqv. (30) 

 värdena på 2 ;< r . . . Dessa eqv. (30) visa, att i en af punkterna den gifna 

 kraften F håller jemnvigt emot ett antal krafter, lika många som de vilkors- 

 eqvationer, i hvilka punktens koordinater förekomma, och normala emot de 

 ytor, hvilka representeras af dessa sambandseqvationer, om man i dem be- 

 traktar endast den i fråga varande punktens koordinater såsom löpande koor- 

 dinater. Betydelsen af en vilkorseqvation i förevarande fall är således analog 

 med betydelsen af en sådan eqvation för en punkt, hvilken icke har något 

 samband med andra punkter. 



Sanningen af den omvända satsen: om eqv. (26) eller (28) gäller för 

 hvarje system virtuela hastigheter, så är kraftsystemet F i jennivigt, bevisas 

 lätt indirekt.') Om jemnvigt icke eger rum, så begynna punkterna att röra 

 sig i vissa riktningar, hvilka vi antaga till riktningar för ett system virtuela 

 hastigheter. Jemnvigt kan nu upprättas, om nian i hvarje punkt anbringar 

 en kraft P' af viss storlek och af motsatt riktning i förhållande till i)unktens 

 virtuela hastighet. Emedan nu kraftsystemen P och P' äro i jemnvigt på 

 grund af vilkorseqvationerna, så gäller eqvationen 



^ ds ^, , ds 



EPca%a -^ -I- >;P' cos « --„- = 0. 

 (Ik ak 



ds 

 Emedan nu för hvarje punkt cos a är = — 1 och alla deriverade -^, hafva 



samma tecken, så är den senare summan i venstra membrum icke noll; alltså 

 kan icke heller den förra summan vara noll, hvilket strider emot antagandet. 

 Det är således omöjligt, att det gifna kraftsystemet skulle åstadkomma en rö- 

 relse, utan måste jemnvigt ega rum. 



Det nu anförda beviset för den virtuela hastighetsprineipen förutsätter, 

 att de tangentiala krafter, hvilka möjligen äro verksamma, inbegripas i de gifna 



') Jemför Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, sid. 599. 



51 



