Om integrationen af de Hermité' sTca differentialeqvationerna. 413 



integralerna erhållas genom en enkel räkning, livars allmänna gång jag här 

 vill antyda. 



På grund af det teoreni, hvilket jag den 16 Februari 1880 bevisat uti 

 „Comptes rendus"*) och hvilket utgör ett komplement till Picakd's märkliga 

 teorem, har den HERMiTE'ska differentialeqvationen åtminstone en integral, som 

 är en dubbelperiodisk funktion af andra ordningen. Om nu den allmänna in- 

 tegralen endast har oändlighetsställen af ordningen ett, måste således den 

 lÏEKMiTE'ska differentialeqvationen nödvändigt ha åtminsone en integral af formen 



f{x) = i{x) e^% 

 hvarest % [x) har samma betydelse som hos Hermite, nemligen 



_ g'(0). ir(:r + oj) ^- -0(5 (--'^') + W 

 ^^^)- 0(cj) H{x) 



Konstanterna «„ «i ^a ^\ [k j'o Yi^iy^ ■ ■ ■ ■ uti den ÜERMiTE'ska differential- 

 eqvation, hvars allmänna integral endast har oändlighetsställen af ordningen 

 ett, måste således nödvändigt vara sådana, att likheten 



är identiskt satisfierad för åtminstone ett värdepar 2, s wo. Detta inträffar 

 åter, så snart den dubbelperiodiska funktionen af andra ordningen 



/ {x) + ^,(x)/ {x)+ + o»« (x) 



icke har något oändlighetsställe. För att åter detta skall ega rum, erfordras, 

 att ett system af n + 1 gifna likheter skall vara satisfieradt. Mellan konstan- 

 terna «o «1 ^0 ßi ßi J'o ïiïiY^ ^g'^ således n— \ relationer rum och de 



båda öfriga relationerna bestämma X och sn a. 



Man har nu för en viss omgifning af x = i K' 



/{iK' + i) = ^ + 2 + a, £ + «2 f' + as £' + 



*) Teoremet lyder: „Om en lineer och bomogeii differentialeqvation med dubbelperiodiska ko- 

 efficienter 



,f') +p^ y(n-V ^p^ y(n-V + + _p^_ . ^ = Q 



har en entydig integral, så har densamma också alltid eu integral y = tp (x), hvilken, utom det, att 

 den är entydig, också är sådan, att 



il> (x + 2 K) = ^i ij) {x); ip(x + 2iK') = v ^ {x) 



der (i och v äro vissa konstanter." Uti den åberopade uppsatsen i „Comptes rendus" har det för teo- 

 remets giltighet eiforderliga vilkoret, att differentialeqvationen skall ha en entydig integral icke till- 

 räckligt tydligt blifvit framhållet 



