Om integrationen af de Hermite^ska di/ferentialeqvationerna. 415 



integral, hvars samtliga oändliglietsställeu äro af första ordningen. Dessa fyra 

 likheter äro 



6 4- «1 -f- 2 f^a = O 

 2ß,X ~p, =0 



(«1 - 2 ß,) a, +ß,X + a,-a,h„ = 0. 

 2 (ß, - ß,) a, + (3i «1 + (3„ + ß, h, = 0. 

 eller 



6 + «1 + 2 ^, = 

 2ß,X-ß, = 



3 r- + (3 + «,) F sw= GJ + «0 - (1 + Ä;') = 



A [A' + 3 F s«' (D + «0 - 3 (1 + Ä:')] - (2 + ßi) k^ snacna dna + |3o = 0. 

 Ur dessa fyra likheter erhållas nu tvänne relationer mellan konstanterna 

 «o «1 ßo ßi ß'i samt dessutom tvänne likheter, hvilka bestämma X och sna. Man kan 

 nu visa, att om man ytterligare pålägger konstanterna det vilkor, att de två 

 sistnämnda likheterna satisfieras utaf trenne värdepar X, sna , så erhållas de 

 olika typerna för den ÜERMiTE'ska differentialeqvationen af tredje ordningen, 

 hvars allmänna integral endast har oändlighetsställen af första ordningen. 

 Genom en lätt utförd diskussion af de ofvanstående fyra likheterna erhålles, 

 att desamma i tvänne olika fall satisfieras af tre värdepai' på X och s «oj. Det 

 finnes således tvänne olika typer för den i fråga varande HERMiTE'ska diiïeren- 

 tialeqvationen. Den ena, hvilken förut blifvit funnen af Picard*) är 



y"' + {a,-6Jc'sn'x)y' + ß,y = 0, 

 hvarest de tre värdeparen på X och s n co erhållas ur likheterna : 

 3 {X' - Ä;' s w' (a) + ß„ - (1 + ¥) = O 



2 X' ~ 2 X (3 k^s n^ OJ - {1 + ¥)) - 4: k' s n m c n a d n a - ßo = O 

 eller ur de dermed eqvivalenta likheterna 



8 ßok^ sno) en a dn CO + Mk~ sn^ a + N= O 



2{io¥ sn^ a -1- «o - 4 (1 + /r) ) A + 3 (4 Ä;' s w cj c »^ a a w oj + po) = O , 



i hvilka 



Jf=t [ß^-4(l+F)«„ + 12F]. 



N = ~^fj[l&- 24«o + 9 «? - «„' + 3 (16 - 16«„ + 3 af) F + 24 (2 - «„) Ä;* + 16 fc^] + ßl 

 Man kau också ersätta dessa båda likheter med de trenne dermed lika 

 betydande likheterna 



tx' + MX' + ^X + >^ = Q 



*) „Comptes rendus etc. 19 Janvier 1880." 



