Sur une application du théorème de M. Mittag-Leffler, dans la théorie 



des fonctions. 



Extrait d'une lettre adressée à M. Mutag-Leffler par M. Ch. Hermite. 



A M. Weierstrass, est due comme vous le savez bien la remarque im- 

 portante que l'expression analytique de la fonction D^^log F (l + oc), par la for- 

 mule 



1 



C' + 



1-1+. 



+ L2 2+a;J ^ ■ "'"^ Ln « + J + 



a été la première indication qui ait mis sur la voie de votre théorème général. 

 C'est en eflet le i)remier exemple connu, où la série des fractions simples étant 

 divergente, se change en une série absolument convergente, en ajoutant 

 une constante à chacune des fractions. Les fonctions elliptiques sont venues 

 après; et dans cette formule qu'a donnée le premier M Weierstrass: 



H (x) " 2j [x+2»iK+2m'iK' 2m K + 2m' i K' {2mK + 2miKj\ ' 



c'est un binôme du premier degré que l'on retranche au lieu d'une constante. 

 Voici un cas enfin où il faut retrancher des fractions simples, un polynôme 

 entier de degré limité, mais qui peut être quelconque. Considérez la fonction 



F(x) = ^p7 4- a\^ ' '^^"*' ^^^ pôles sont: x— - n et les résidus correspondants: 



„ {-lY{a-l){a- 2) ... (a-n) ^. 



-ti„ = z — }y . bi nous supposons que la constante a 



x + n 

 jouter une fonction holomorphe, on a l'expression: 



soit positive, la série > — — — est convergente, et sans qu'il soit besoin d'à- 



Fw = E "^ 



x + n 



