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C'est ce que l'on prouvera immédiatement au moyen de la formule: F(x)-= 

 (1 - t)""'' t''~'^ dt] nous pouvons en effet sous le signe d'intégration, développer 







la puissance (1 - tY'\ et écrire: 



/( 



w=x'2: 



(- 1)- (g - 1) (» - 2) . . (»-«) ^,_,^„^^ 

 l . 2 . . . n ' 



puis: 



(- 1)" (a - 1) (a - 2) . . (a - w) 1 



Fix)^-^ 



1 . 2 . . . n X + n 



Vous observerez de plus que x devant être supposé nécessairement positif, 

 dans l'intégrale, le résultat déduit du développement en série, subsiste pour toute 

 valeur réelle ou imaginaire de la variable. Mais admettons que a soit néga- 

 tif, (réel pour plus de simplicité), et soit « = — «'. La série précédente cesse 

 d'être convergente, et nous avons par conséquent à chercher, s'il existe une 

 valeur entière de l'exposant ?', qui rende convergente la nouvelle suite: 



Y :?." _ Y («' + 1) {u + 2) ■ . (a + n) 1 



Or en désignant par if„ le terme général, on a: 



K + i n' (w + 1 -h a) _ n' + ' + (1 + «') ^' 

 u„ ^ (n+ly'''^' ~~ n' + '~V{l+J)n' + . . . 



et la règle de Gauss donne immédiatement la condition: 



1 + a' - 1 - i + 1 < 

 ou simplement: 



^■>a'+l. 



La fonction considérée nous conduit donc à l'application de votre théo- 

 rème dans la eirconstance que j'avais en vue et qui s'offre pour la première 

 fois, si je ne me trompe, en analyse. Pour parvenir alors à l'expression de 

 F[x), je posei'ai: a = ~ v + a, v étant un nombre entier et « positif, puis je 

 ferai usage de la relation élémentaire: 



TJ^) 



^^""-V - (^_i)(^_2) . . . (x-v) 



qui permet d'écrire: 



r{x) r{a-v ) r{x)r {a) 



^^^) = rix + a-vY = ^ (^) ^>T^r 



ou j'ai fait: 



