Sur une application du thcorcmc dans lu théorie des fonctions. 429 



Vous voyez qu'étant ramené au cas précédemment considéré, on en con- 

 clut immédiatement: 



f (,) . Ö M y MÜ" -')_(;■ - 2).. (»->■) A 



■w = I [- 



un calcul facile montre ensuite qu'on a: 



( -l)"(«-l)(«-2 ) ..(a->^) 



^"- r. 2 . . w ^(-'0> 



et en désignant le polynôme de degré i- — 1 en ic, - -^ -^ — — par G- (a), 



nous parvenons à l'expression analytique de la fonction T {x), sous la forme 

 que donne votre théorème à savoir: 



.f« ^""«^ 



Remarquez cependant cette légère modification qui consiste en ce que 

 G;,(x) n'est point le polynôme: 



^ r 1 X ic-i 1 



Cette circonstance a pour effet de supprimer tante partie entière dans F(x), 

 et elle suggère la considération suivante. Soit en général f(x) une fonction uniforme, 

 n'ayant pour fixer les idées que des pôles simples x = a„, et soit B„ le résidu qui cor- 

 respond à a„. Désignons par G (;r) une fonction holomorphe, telle que l'équation 

 G (ic) = n'ait jamais qu'un nombre fini et limité de racines Xq , Xi , etc. Cette 

 condition pourra être remplie alors même que G (x) ne serait point un poly- 

 nôme, mais le produit d'un polynôme par l'exponentielle d'une fonction holomorphe. 



Cela posé, je considère dans les cas où la série des fractions simples: — ^^^ — 



f (^) 

 n'est point convergente, la nouvelle fonction: '^/rfsr ■ Désignons par i?„ les 



résidus qui correspondent aux pôles x = a„ et par Qo ■, Q\ ■, ■ ■ ceux qui corre- 

 spondantes aux racines x = Xo, x = Xt, . . de G (x). Il est clair qu'on pourra 

 poser : 



G{x) - x-Xo + x-x, + ■ • ■ + Zj x-a„ + ^ W 

 ou g (x) est une fonction holomorphe, lorsque la série : 



y Mod -^ 



Lu a„ 



