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Or l'identité: 



a-l 1 



(x— a) (x — ^) X— a X— è, 

 donne sur le champ l'expression: 



I^V^J-Zj x-a x-è ' 



et l'on peut remarquer qu'on a, d'après la valeur de i?, ; 



"^^^ = 1 a-è =-^'^^- 

 La fonction /i (x) étant ainsi représentée par une série de fractions simples, 

 sans addition d'une partie entière, vous voyez qu'en posant successivement: 



t\{x) 



n{^) 



X- èi 



/:,W = #î)- 



il en sera de même de proche en proche de toutes ces quantités dont la der- 

 nière a pour expression: 



^"^""^^ G{x) ' 

 ou l'on a fait: 



G{x) = {x-^){x-^,) . . . (x-i,_,). 

 Nous sommes donc assuré par ce procédé bien facile, que le résultat obtenu 



r(x)^r{a - x) 



l{a) 



r(x)r (a - x) 



pour iH' \ ! entraine une expression de même forme de la fonction 



p/ s . Mais cette forme change, et l'on se trouve amené à l'appli- 



cation de votre théorème, lorsque la constante a devient positive et plus grande 

 que l'unité. Faisons en effet: a = t' + K, où v est entier, a positif et moindre 

 que un, et posons: 



on aura: 



r{x) rja-x) _ r{a) rjx-a) 

 r{a) -^W r{a) 



Désignons encore par q„ ce que devient R„ quand on change a en a, la 

 formule obtenue plus haut, à savoir: 



