434 Ch. Hekiiite. 



^(^) = i/ 



1 c'H^-t)-^-t ^,, ^^^ 



(l-e^)f 

 C e^^^ z åt 



^ ^ \ •• e""" z at 



dont la première suppose essentiellement positive la partie réelle de la variable, 

 tandis que la seconde existant dans toute l'étendue du plan, semble donner 



C^ e^^^ zdt 

 \og r{z), pour toute valeur de z. Mais 1 intégrale: Mog "ki^^ — ~^^f~i ^^' 



\ e ' — 1 



met pour coupure le lieu représenté par l'équation: 



/ + f = 0; 

 t variant de zéro ta l'infini, c'est à dire l'axe des ordonnées. C'est la circon- 

 stance de cette ligne de discontinuité qui explique qu'à gauche de la coupure, 

 l'intégrale cesse de correspondre à la fonction log r{z), de sorte que les ex- 

 pression de BiNET ne donnent l'une et l'autre cette quantité que pour la moi- 

 tié du plan qui est à droite de l'axe des ordonnées. J'ajoute qu'une des 

 propriétés fondamentales de r{z), s'offre comme une conséquence à tirer de 

 cette considération de la coupure. Envisageons en effet, afin d'avoir l'inté- 

 grale d'une fonction uniforme, la dérivée •[>' (z) qui a pour expression, comme 

 on le trouve aisément: 



* 



•«=-/ 



2tdt 



(z' + f) (l - e-^"^) ' 

 et donne la relation suivante: 



r' (z) 1 



--^= log. -2, + *'(.). 



Pour deux points infiniment voisins d'un point quelconque de la coupure 

 qui correspond aux valeurs t = e, z = i e, et ont pour affixes les quantités t + ie, 

 — s + ie, ou f est infiniment petit positif, on a d'après la formule générale : 



2in 



ou bien si l'on introduit la quantité z = i 9: 



(!>' (i + z) — <I'' (- £ + z) = — = — jr (cotg nz — i) . 



ünnz 



Mais *l>' [z) ne change pas de signe avec z , de sorte qu'on peut rem- 

 placer le terme fb' [— i + s) se rapportant à un point qui est à gauche de la 

 coupure par, '/>' (t — ^) ; il vient ainsi la relation : 



