Sur une upj)Ucutiu)i du tltrurvmc dann la t/u'oric des fundtuuti. 435 



'!>' {i + z) — (£>' (f — ^) = — jr (cotg n z — î) ^ 

 qui s'applique ;i la fonction F. 

 Ayant en effet: 



r' (i) r'(-z) , , 1 , , , , , ^ 



'r(^- - 1^) = - ^«s (- ^) - . + "' ^^ - '^' (- --)' . 



on en conclut que l'expression: 



r' (z) r'(~z) , 1 



coïncide pour i infiniment petit, lorsqu'on suppose z — ie-, avec la quantité: 



— n (cotg % z — i). 

 Elle lui est par conséquent identique dans tout le plan puisqu'il s'agit 

 de fonctions uniformes et si l'on fait comme il est permis, log (— l) = ^;r, 

 nous sommes amené à la relation: 



r'is) r'{-z) 1 



-^^.tS, — ,w ( =— - — ;r cotg:TÄr , 



r{z) i [— '^) 2 



d'où se tire facilement: 



r(z) r{-z) = —^ — 



ou encore: 



rU) r{\-z)^^ — . 



"^ ' ^ ' sm Ä s 

 De ce fait des deux expressions sous forme d'intégrales définies de la fonc- 

 tion Q) {z) l'une n'existant que dans une moitié du plan, tandis que l'autre sub- 

 siste pour toute valeur de la variable, mais avec l'axe des abscisses pour 

 coupure, je crois pouvoir rapprocher comme analogue jusqu'à un certain point, 

 le résultat suivant qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions 

 elliptiques. Considérons comme fonctions de g, ou plutôt de cj, en faisant 

 q — e'-^f» , les quantités s « | , c m | , c? w | . Si l'on pose : u—x-\-iy^ les ex- 

 pressions sous forme de quotients à savoir 



,„,_^_^(^) o.£-7/^-^® dni-iJ.^^^ 



n'auront d'existence qu'autant que y sera positif et différent de zéro, tandis que 

 les développements en séries simples: 



2k K 2Ki 4 i/û^ sin I 4 i/f/ siu 3 ^ 



sn = -~ + z 3 — + 



2liK 2Kè 4t/«cos| 4 i/aS cos 3 | 



en = — 7^- + 1— , — 3 — + 



2K 2Kè 4gcos2^ 4 g' cos 4 £ 



dn = 1 + — vw ' 2 + — T^, — r" " + ) 



