4oü Cil. IIekmite. 



sont cuuvergciits pour toute valeur de (/, en exceptant toutefois le cas de m 

 réel, ou y = 0. Or à l'égard de ces expressions analytiques entièrement ex- 

 plicites, l'axe des abscisses, comme la coupure de la seconde des intégrales 

 de BiNEï, joue le rôle d'une ligne de discontinuité. Dans son beau et impor- 

 tant travail intitulé: Über die Theorie der elliptischen Modul-Functionen (T. 

 83 du journal de Borchardt) Mr. Dedekind a donné d'après une indication de 

 RiEMANN, la proposition suivante qui en montre le caractère. Si l'on suppose 

 y infiniment petit positif, et x incommensurable, le module k est absolument 



m 

 indéterminé, tandis qu en faisant x = ^— où m et n sont des entiers premiers 



entre eux, on a: 



k = CO , pour m — 1 , n ^ l (mod 2) 



k = l , „ m — , n = l 



k = , ,, m = \ , n — . 



En suivant l'axe des abscisses, à une distance infiniment petite au dessus de 



cet axe, on voit donc se succéder pour s n | par exemple, les quantités sin | et 



tang i ^ 



r , répondant aux valeurs zéro et 1 unité du module, et à des intervalles 



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aussi rapprochés qu'on le veut. Je remarquerai encore que les développements 

 ci-dessus, sous forme de séries simples, qui étendent à tout le plan, relative- 



2Kè 2Kè 2K^ 



ment a cpj, la détermination de sn , en , du , ne réalisent 



point cette extension de la même manière pour les trois fonctions. Faisons 



jr 2Ki ^ 2 K 



en effet è = „ dans s n , et | = dans c n , on trouvera ces for- 



mules 



1_2B + • • • • 



31 1 + g ' \+<f 



dont la première change de signe, mais non la seconde, lorsqu'on change ç/ en 



- - , c'est à dire a en — a. Que de choses difficiles et délicates se trouvent 

 q ' •" 



amenées dans l'étude d'une fonction, par la présence d'une ligne de discon- 

 tinuité ! 



